Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

1947 ∙ Д. Фергюсон и Джон Ренч с использованием механического калькулятора ∙ 808

1949 ∙ Джон Ренч-младший и Леви Смит с помощью ENIAC ∙ 2037

1958 ∙ Франсуа Женюи ∙ 10 000

1961 ∙ Дэниел Шенке и Джон Ренч ∙ 100 265

1973 ∙ Жан Гийу и Мартин Буйе ∙ 1001 250

1983 ∙ Ясумаса Канада и Ясунори Уширо ∙ 10 013 395

1987 ∙ Ясумаса Канада, Йошияки Тамура и Йошинобу Кубо ∙ 134 214 700

1989 ∙ Григорий и Давид Чудновские ∙ 1011196 691

2002 ∙ Ясумаса Канада с группой из девяти специалистов ∙ 1241100 000 000

2009 ∙ ДайсукеТакахаши и группа программистов ∙ 2576 980 370 000

2011 ∙ Сигеру Хондо ∙ 10 000 000 000 050

В 1973 году старинная формула Эйлера вкупе с формулой Мэчина позволила Гийу и Буйе вычислить миллион знаков π:

Любопытно, что для вычисления второго слагаемого достаточно вычислить первое и перенести запятую на несколько позиций. Вне зависимости от их абсолютной величины два первых слагаемых будут отличаться только количеством нулей.

В 1976 году Юджин Саламин и Ричард Брент предложили алгоритм, основанный на давней гипотезе Гаусса и Лежандра о последовательном вычислении средних арифметических и средних геометрических. Суть алгоритма непросто описать вкратце. Алгебраический алгоритм — это метод расчета некой величины, в данном случае Я. Саламин и Брент использовали следующие исходные равенства:

a₀ = 1; b₀ = 1/√2; t₀ = 1/4; p₀ = 1,

затем рекуррентным способом вычислили

a_n+1 = (a_n + b_n)/2;

b_n+1 = √(a_nb_n);

t_n+1 = t_n — p_n(a_n - a_n + 1)²;

p_n+1 = 2p_n.

В пределе справедливо следующее соотношение:

π ~ (a_n + b_n)²/4t_n.

Этот алгоритм, который было бы невозможно использовать без помощи компьютера, обладает квадратичной скоростью сходимости, то есть на каждом шаге число знаков, полученное на предыдущем, удваивается. С использованием этого алгоритма было получено 206158430000 знаков π.

Но и это еще не все: в 1980-е годы Петер и Джонатан Борвейны создали алгоритм со скоростью сходимости четвертой степени, с помощью которого было рассчитано 1241100 000 000 знаков. Мы не станем приводить его здесь, так как он будет понятен лишь узким специалистам.

ВЕЛИКОЛЕПНАЯ ЧЕТВЕРКА

Любой специалист, интересующийся вычислением я, знаком с выдающейся канадской семьей Борвейнов. Отец, Давид Борвейн (род. в 1924 году), литовец по происхождению, — известнейший математик своей страны. Он изучал многие разделы математики, особое внимание уделяя теории рядов. Его старший сын Джонатан (род. в 1951 году), автор множества книг, известных в компьютерном мире, отличается особым отношением к числу я. Он увлекается преподаванием математики и разрабатывает специальные обучающие программы. Питер (род. в 1953 году) — один из создателей формул ВВР для расчета числа я, названных так в честь их создателей — Бэйли, Борвейна и Плуффа. Он также достиг выдающихся результатов в информатике. Мать Джонатана и Питера, супруга Давида Борвейна, тоже известна в научных кругах, но не математических, а анатомических.

* * *

В конце 2002 года группа японских специалистов, возглавляемая Ясумасой Канадой, достигла результата, который теперь уже не так удивляет научный мир. Тем не менее последняя страница в этой истории еще не написана. Прогресс в этой области, кажется, не прекращается: в 2011 году был получен 10 000 000 000 050 знак числа π.

Сколь далек этот результат от предсказания Дэниела Шенкса (не путать с Уильямом Шенксом), который в 1983 году заявил, что вычисление миллиарда знаков π станет неприступной задачей! Сохраним для истории две формулы Мэчина, которые использовал Канада:

π/4 = 12∙arctg (1/49) + 32∙arctg (1/57) — 5∙arctg (1/239) + 12∙arctg (1/110443)'

π/4 = 44∙arctg (1/57) + 7∙arctg (1/239) — 12∙arctg (682) + 24∙arctg (1/12943).