Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

ЧТО ТАКОЕ ЦЕПНАЯ ДРОБЬ

Обучить читателя построению цепных дробей, возможно, непросто, но это поможет лучше понять материал, изложенный в книге.

Возьмем число N, которое не является целым. Если мы вычтем из этого числа его целую часть, которую будем называть [N], получим N — [N], то есть дробную часть числа N. Очевидно, что значение этого выражения лежит в интервале от 0 до 1.

Число, обратное N — [N], равно — 1/(N — [N]). Оно больше 1. Для простоты будем называть его N₁.

N — [N] = 1/N₁ или N = [N] + 1/N₁.

Отделив целую часть N₁ и повторив вышеуказанные действия, получим вторую дробь;

И так далее:

Эти действия можно повторять бесконечно. Результатом будет

Если это разложение прекратится, это будет означать, что N — рациональное число (целое или дробное), иными словами, что оно выражается в виде конечной или периодической десятичной дроби. В случае с числом к, которое является иррациональным, разложение в цепную дробь бесконечно. Последовательность, которая обычно записывается так:

[[N]; [N₁], [N₂], [N₃]…]

однозначно определяет N и цепную дробь, в которую раскладывается это число.

* * *

Дробь 333/106 является наилучшим рациональным приближенным значением: чтобы получить любое более точное значение, будет необходимо увеличивать знаменатель. Приближенное значение π = 333/106 в свое время получил Ривар, причем погрешность этого значения крайне мала.

Из так называемой формулы Мэчина

π/4 = 4∙arctg (1/5) — arctg (1/239)

были выведены другие формулы, которые применялись для вычисления знаков π. Позднее мы приведем две подобные формулы, которые использовал японский специалист Канада при расчетах 1241100 000 000 знаков π.

ДЖОН МЭЧИН (ОК. 1680–1751)

Этот английский математик в течение 29 лет занимал пост секретаря Лондонского королевского общества, но остался в истории благодаря единственной формуле, носящей его имя. Эту формулу в сочетании с рядом Тейлора удобно использовать для расчетов числа к, так как полученный ред сходится достаточно быстро. Сегодня известно множество формул подобного вида, например

π/4 = 183∙arctg (1/239) + 32∙arctg (1/1023) — 68∙arctg (1/5832) + 12∙arctg (1/113021) — 100∙arctg (1/6826318) — 12∙arctg (1/33366019650) + 12∙arctg (1/43599522992503626068)

которую вывел Хван Чен Ли в 2003 году.

Сложные формулы

Индийский математик Рамануджан примерно в 1910 году получил первую из этих формул (и еще 16 подобных ей):

Эта формула отличается удивительным свойством: с вычислением каждого последующего члена она дает 8 новых десятичных знаков π. Однако для доказательства этой формулы пришлось подождать три четверти столетия, так как Рамануджан не потрудился привести доказательство. Билл Госпер, один из первых хакеров в истории, использовал эту формулу для расчета 17 миллионов знаков π. Вариант

позволил находить не 8, а 14 знаков на каждом шаге вычислений. Помимо этого, вычисления стало возможным разделить между несколькими компьютерами.

Приведенная формула была получена братьями Чудновскими в 1987 году. Мы приводим ее, чтобы подчеркнуть, насколько быстро развивается все, связанное с информатикой: в XXI веке эту формулу используют для расчетов на персональных компьютерах, а не суперкомпьютерах.