Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

ЖОРЖ ЛУИ ЛЕКЛЕРК ГРАФ ДЕ БЮФФОН (1707–1788)

Этот французский ученый оставил свой след в различных науках. Он был биологом, писателем, занимался космологией и математикой. Его главным трудом является монументальная «Естественная история» в 36 томах с 8 приложениями. В области космологии наиболее значительным вкладом Бюффона стала гипотеза о возрасте Земли, вычисленном по результатам исследований охлаждения железа. Гипотеза вызвала серьезный протест со стороны церкви. Он перевел на французский труды Ньютона и внес вклад в теорию вероятностей, опубликовав работу «Опыт моральной арифметики», в которой, помимо прочего, содержалась знаменитая задача о падении иглы на лист с нанесенными параллельными линиями.

Граф де Вюффон занимался многими науками, но известен прете всего как натуралист.

* * *

Чтобы оценить площадь закрашенной области, множество точек которой является решением неравенства y =< (1/2)∙sin x, необходимо вычислить интеграл

Площадь прямоугольника равна π/2, и вероятность того, что игла упадет на линию, равна отношению двух площадей:

1/(π/2) = 2/π ~ 0,6366197…

Именно здесь и появляется число π.

Задачу можно также решить для случая, когда l не равно d. При l < d вероятность равна 2l/πd, при l > d вероятность равна

В этом случае необходимо вычислить двойной интеграл. Предпринимались попытки вычислить значение π на основании данных рассуждений, но результаты оказались неудовлетворительными. Фактически малейшая неровность иглы приводит к появлению заметных ошибок, поэтому использовать этот метод не рекомендуется. Предпочтительнее бросать виртуальные иглы на разлинованные листы в киберпространстве. Для этого разработаны специальные программы.

…и иголка на листе бумаги

Более сложный вариант предыдущей задачи называется задачей Бюффона-Лапласа. Ее решение приводит Лаплас в своей «Аналитической теории вероятностей». В этом варианте задачи игла падает не на равноудаленные друг от друга параллельные прямые, а на сетку из клеток с перпендикулярными сторонами. Каждая клетка имеет стороны а и b (а не равно Ь). Предполагается, что иголка короче, чем обе стороны.

Чтобы найти ответ, необходимо вычислить несколько более сложный интеграл, чем в предыдущей задаче. Вероятность того, что игла пересечет одну из сторон клетки, равна

(2l(a + b) — l²)/πab.

При а = b вероятность того, что игла не пересечет ни одну из линий, равна

1 — (l(4a — l)/πa²)

Вероятность пересечения одной линии равна

2l(2a — l)/πa²

и вероятность пересечения двух линий равна

l²/πa²

Можно обобщить эту задачу, преобразовав квадратные клетки, скажем, в треугольники. Но эту задачу мы оставляем специалистам.