Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

ИОГАНН КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС (1777–1855)

Никакая характеристика не может точно выразить весь масштаб личности математика, астронома и физика Гаусса. Достаточно сказать, что современники называли его «принцем математиков» (лат. Princeps mathematicorum). Гаусс был родом из очень простой семьи. Уже в раннем детстве он продемонстрировал незаурядные способности. По легенде, он показал свой удивительный талант, когда учитель предложил найти сумму всех чисел от 1 до 100. Всего через несколько минут Гаусс нашел верный ответ: 5 050. Как мог ребенок так быстро дать верный ответ, когда любому другому на это потребовалось бы намного больше времени? Он заметил, что числа от 1 до 100 образуют 50 пар чисел, сумма каждой из которых равна 101:

1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 48 + 53 = 49 + 52 = 50 + 51.

Следовательно, 50∙101 = 5 050.

Гаусс очень рано добился заметных результатов. Его интересовало буквально все, он создал бесчисленное множество трудов в самых различных областях: нашел критерий возможности построения правильных многоугольников, сформулировал теорему о распределении простых чисел, доказал основную теорему алгебры, рассчитал орбиту карликовой планеты Цереры, предсказал важнейшие моменты неевклидовой геометрии, не считая многочисленных достижений в математическом анализе, алгебре, теории чисел, теории вероятностей и других разделах математики. В прикладной математике и физике выделяются его работы по геодезии, электричеству и магнетизму. Он изобрел гелиотроп, гелиограф и электрический телеграф.

Гелиотроп — один из приборов, изобретенных Гауссом, который в значительной степени помог ему в геодезических исследованиях. Этот прибор с движущимся зеркалом отражает солнечный свет в определенном направлении, что делает возможной настройку топографических инструментов.

π и другие вероятности

Расскажем о некоторых любопытных фактах, связанных с π и понятных неподготовленному читателю. Если треугольник имеет произвольно выбранные стороны а, b < 1 и с = 1, то вероятность того, что а, b и с образуют тупоугольный треугольник, равна (π — 2)/4.

Среднее число вариантов записи натурального числа в виде суммы двух квадратов (с учетом их порядка) равно π/4.

Говорят, что комплексное число является гауссовым целым числом, если его можно представить в виде х + yi, где х и у — целые. При сложении, вычитании и умножении гауссовых целых чисел результат всегда будет также гауссовым целым числом. Они образуют так называемое поле, на котором можно определить признак делимости, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и простые числа. Вероятность того, что два гауссовых целых числа являются взаимно простыми, равна 6К/π², где К — так называемая постоянная Каталана. Для обычных целых чисел эта вероятность равна 6/π².

Глава 4 Формулы с числом π

Государь, чей оракул находится в Дельфах, не говорит и не скрывает, но знаками указывает.

Гераклит

Лорд Кельвин как-то написал на доске формулу

и, обращаясь к слушателям, сказал: «Математик — это тот, для кого эта формула столь же очевидна, как 2 + 2 = 4».