Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Мы не будем заходить так далеко, как лорд Кельвин, но все же приведем несколько формул, в которых используется π. Присутствие формулы в тексте гарантирует, что не слишком заинтересованный читатель непременно отвлечется, поэтому мы постарались использовать как можно меньше формул и объединить их в одной главе.

Некоторые из них обязательно знать всем, кто интересуется этой темой, поэтому их нельзя было не включить в эту главу. Более сложные формулы будет непросто понять, но с ними следует ознакомиться, чтобы осознать, каких усилий стоило открыть их.

Физика и число π

Выражения, в которых используется π, полезно знать. Те, что касаются физики, порой столь же интересны, сколь трудны для понимания.

Формула ниже — это закон Кулона, описывающий силу взаимодействия между двумя зарядами q₁ и q₂, расположенными на расстоянии r, где ε₀ — электрическая постоянная:

F = |q₁q₂|/4πε₀r²

Это третий закон Кеплера, где Р — период обращения планеты вокруг Солнца, m₁ и m₂ — масса Солнца и планеты, а — большая полуось орбиты, G — гравитационная постоянная:

p² = [4π²/G(m₁ +m₂)]∙a³

Принцип неопределенности Гейзенберга для частицы со средним значением координаты х и средним импульсом р, где h — нередуцированная постоянная Планка:

ΔxΔy >= h/4π

Космологическая константа, где G — гравитационная постоянная, с — скорость света, р — плотность материи и излучения:

 = (8πG/3c²)∙p.

Можно предположить, что следующие формулы будут интересны только специалистам, поэтому мы не будем продолжать. Стоит отметить, что эти и другие физические формулы не используются для расчетов Я, но их полезно знать каждому образованному человеку.

Элементарная геометрия и число π

Простейшие формулы прежде всего относятся к так называемым коническим сечениям — кривым, получаемым в результате рассечения конуса плоскостью. В следующих формулах r обозначает радиус.

Длина окружности:

L = 2πг.

Площадь круга:

S = πr².

Площадь эллипса с полуосями а и Ь:

S = πаЬ.

Площадь правильного многоугольника с n сторонами и длиной стороны а:

S = (1/4)∙na²ctg (π/n)

Площадь поверхности сферы:

S = 4πr²

Общая площадь поверхности цилиндра с высотой h:

S = 2πr∙(r + h).

Общая площадь поверхности конуса с образующей g:

S = πr∙(r + g).

Объем сферы:

V = (4/3)∙πr³.

Объем эллипсоида с полуосями а, Ь и с:

V = (4/3)∙πabc

Объем цилиндра с высотой h:

V = πr²h.

Объем конуса с высотой h:

V = πr²h/3.

Также, разумеется, существуют и другие формулы, в которых используется π и очень сложные интегралы.

Простые формулы

Под простой формулой будем понимать любую формулу, найденную до наступления компьютерной эры. С наступлением эпохи компьютеров математики сосредоточили внимание на вычислении знаков π с наибольшей эффективностью. Красота расчетов уступила место эффективности вычислений. Простое перечисление формул будет достаточно громоздким, но у нас не остается другого выхода:

В последней формуле использован круговой интеграл. Предполагается, что обход дуги окружности осуществляется против часовой стрелки.

Важное место среди математических формул с числом π занимают ряды:

Подобные ряды могут иметь и такой вид:

Существуют также ряды, связывающие π и загадочную дзета-функцию Римана ζ (s):

В последнем случае В_2n — числа Бернулли, изучаемые в высшей математике. Для справки приведем первые несколько чисел Бернулли:

Возможно, перечисление рядов — не совсем то, чего ожидал читатель. Рассмотрим подробнее простой пример: первый ряд из нашего списка, именуемый формулой Лейбница. Рассмотрим ряд

1/(1 + x²) = 1 — x² + x⁴ — x⁶ + x⁸ — …,

сходящийся при |х| < 1. Можно проинтегрировать его почленно и использовать интегральное исчисление для расчетов:

Приняв х = 1, увидим, что доказательство близится к завершению. Чтобы подтвердить правильность полученного результата для х = 1, учитывая, что этот результат верен для |х| < 1, нужно выполнить еще несколько действий. Запишем исходный ряд, но остановимся на (n — 1) — м члене, записав остаток так, как если бы речь шла об n-м члене:

Проинтегрировав почленно от 0 до 1 и приняв х = 1, имеем

При переходе к пределу при n —> оо последний член стремится к нулю. Следовательно,

actg 1 = π/4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9 — …

К сожалению, этот ряд не слишком удобен для расчетов π, так как он сходится слишком медленно. Чтобы получить десять знаков π, нужно найти сумму 10⁵⁰ членов ряда — число поистине астрономическое. Из очевидных соображений мы не будем повторять эти действия для всех ранее приведенных рядов. Это было бы слишком трудоемко, но мы не получили бы никаких новых результатов. Следующий ряд иногда называют рядом Грегори-Лейбница. В действительности его нужно было бы именовать рядом Мадхавы из Сангамаграма, так как именно этот индийский математик первым открыл формулу. Этот ряд записывается так:

где F_n — это числа Фибоначчи, элементы числовой последовательности, в которой каждое число является суммой двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144….