Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В обычной квантовой механике приближение ВКБ состоит в разложении рассматриваемых величин по степеням постоянной Планка h. В нулевом порядке получаются классические траектории; члены высших порядков по h описывают квантовые поправки к классическим решениям. В теории поля приближение ВКБ особенно удобно формулировать на языке интегралов по траекториям. Чтобы использовать метод ВКБ, мы теперь не будем полагать постоянную Планка равной единице, а сохраним ее в явном виде в выражении для производящего функционала (39.11):

Z[]=

 

^x

d(x) exp

i

h

A

[],

(40.1)

поля же и импульсы представим в виде рядов

(x)=

_cl

(x)+

h

^1/2

(x)+…,

(x)=

₀

_cl

(x)+

h

^1/2

(x)+…,

(40.2)

и сравним коэффициенты при одинаковых степенях постоянной Планка h. Член _cl представляет собой решение классического уравнения движения

^2

_cl

+m^2

_cl

=

L_int

_=cl

,

(40.3а)

или, что эквивалентно, имеет вид

_cl

(x)=

₀

(x)+i

d

⁴

y

(x-y)

L_int

_=cl

,

(40.3б)

где ₀ — свободное классическое поле, удовлетворяющее однородному уравнению (^2+m^2)₀=0. Поскольку поле _cl удовлетворяет уравнению движения, действие A[_cl] достигает на этом поле экстремума: мы разлагаем выражение (40.1) в ряд в окрестности этой стационарной фазы. Нулевой порядок теории возмущений по константе h соответствует древесному приближению; поправки старших порядков описывают вклады различных петлевых диаграмм. Применимость этого метода основана на том, что в каждом порядке теории возмущений возникающие интегралы имеют гауссову форму и, следовательно, могут быть вычислены аналитически. Покажем это на примерю вычисления поправки первого порядка. В первом порядке по константе h действие A имеет вид

A=A[

_cl

]-

1

2

d

⁴

x

(x)(^2+m^2)(x)-

^2L_int

²

_=cl

(x)(x)

.

Проведем замену переменной

(x)->'(x)=

^2+m^2-

^2L_int

^2

^1/2

(x),

и для производящего функционала получим следующий результат:

Z=(constant) exp

-

1

2

Tr log

1-

(^2+m^2)

^-1

^2L_int

^2

_=cl

Z

_tree

,

(40.4а)

где, используя (40.3) и соотношение i(^2+m)(x)=(x), производящий функционал древесного приближения Z_tree можно записать в виде

Z

_tree

=

N exp

i

h

d

⁴

x L

_int

(

_cl

)-

i

2

d

⁴

xd

⁴

y

L_int

(x)

_=cl

x

(x-y)

L_int

(y)

_=cl

.

(40.4б)

Константа в формуле (40.4а) содержит член

d'(x) e

^-(i/2)

dx ^2(x)

det(^2+m^2)

^1/2

,

где использовано обозначение

det(A

^{- 1/2}

)=exp

-1

2

Tr log A

.

Известно, что существуют такие квантовомеханические состояния системы, для которых классических траекторий не существует. Такая ситуация имеет место, например, при туннелировании через потенциальный барьер. Но метод приближения ВКБ можно распространить и на этот случай. Продемонстрируем это на типичном примере частицы, совершающей в одномерном пространстве движение в потенциале V(x). Волновая функция такой частицы в Приближении ВКБ имеет вид (см., например, [186])

(x)=Ce

^iA(x)

,

(40.5)

гдe A- действие, вычисленное вдоль классической траектории, определяемой уравнением

1/2 mx+V(x)=E.

Рис. 30. Потенциалы с несколькими минимумами: а — потенциал с двумя минимумами ; б — периодический потенциал.

Выберем потенциал, имеющий два минимума в точках x=x₀ и x₁ и обращающийся в этих точках в нуль (рис. 30, а). Если выполняется условие Emax V, движение из точки x₀ в точку x₁ разрешено, и, исходя из выражения (40.5), для волновой функции можно вычислить амплитуду "рассеяния". Но если выполняется условие Emax V, корректное ВКБ-рассмотрение приводит к результату, согласно которому амплитуда перехода

x

₁

|x

₀

=Ce

^iA(x1,x0)

(40.7)

должна быть заменена амплитудой туннелирования

x

₁

|x

₀

=Ce

^-A(x2,x0)

(40.8)

где действие A вычисляется не вдоль траекторий, определяемых уравнением (40.6), а вдоль траекторий, удовлетворяющих уравнению

- 1/2 mx+V(x)=E.

(40.9)

Мы видим, что для получения амплитуды туннелирования можно использовать ту же формулу, что и для амплитуды перехода, производя лишь формальную замену переменной t на it как в выражении для действия

A=

^t(x₁)

 

_t(x0)

dt L->i

A

так и в уравнениях движения (40.6) - (40.9).

Выражения (40.5) и (40.8) не нормированы. Но их легко нормировать, разделив на амплитуду x₀|x₀. Таким образом, можно заключить, что в квантовой теории поля амплитуда туннелирования в ведущем приближении выражается в виде

₁

,t=+|

₀

,t=-

C exp

-

d

⁴

x

L

(

_cl

)

(40.10)

где _cl классическое решение евклидовых уравнений движения, т.е. уравнений движения, в которых проведена замена x₀->ix₄, где переменная x₄ вещественна

Согласно обсуждению, проведенному в начале данного параграфа, выражение (40.10) можно рассматривать как ведущий член разложения точного выражения

₁

,t=+|

₀

,t=-

=

N exp

-

d

⁴

x

L

(

_cl

)

(40.11)

по степеням постоянной Планка h в окрестности классической траектории _cl.