Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Важное свойство состояний системы, находящейся в условиях, когда возможно туннелирование, заключается в следующем. В стационарных состояниях (в частности, в основном состоянии, которое должно быть отождествлено с вакуумом теории поля) система не локализована в одном из минимумов потенциала V, а распределяется между всеми минимумами. В случае КХД это будет показано на примере периодического потенциала, подобного потенциалу рис. 30, б.

§ 41. Формализм функциональных интегралов в квантовой хромодинамике; калибровочная инвариантность

Формализм, развитый в предыдущих параграфах, можно непосредственно применить к квантовой хромодинамике, если сначала рассмотреть вопрос о калибровочной инвариантности. Одна из возможностей состоит в том, чтобы выбрать физическую калибровку

u·B

_a

(x)=0, u^2>=0,

(41.1)

так что интегрирование в функциональном интеграле производится по полям B, удовлетворяющим условию (41.1). Теперь производящий функционал с точностью до произвольного нормировочного множителя N определяется в виде

Z=N

(dq)(d

q

)(dB)

 

^a,x

(u·B

_a

(x)) exp i

d

⁴

x L

_u

,

(41.2)

где введены часто употребляемые в дальнейшем обозначения (dq)_x,f,i,dqⁱ_f(x), (dB)_x,adB_a(x) и т.д., a L_u - лагранжиан КХД, не содержащий членов, фиксирующих калибровку. Это все, что требуется, если мы хотим работать в физической калибровке. Но хотелось бы также распространить формализм функциональных интегралов и на другие типы калибровок, в частности на ковариантные калибровки. Калибровочные условия можно записать в виде

K

_a

[B(x)]=0,

(41.3)

где K - функционал, фиксирующий калибровку. Например, лоренцева калибровка имеет вид

K

_a

[B(x)]=

B

_a

-

_a

(x),

(41.4)

где поле представляет собой заданную функцию (в частности, можно взять =0).

Пусть T - калибровочное преобразование, задаваемое параметрами (x), а B_T — поля, возникающие из полей B под действием этого калибровочного преобразования:

B

^Ta

(x)=B

^a

(x)+g

f

_abc

_b

(x)B

^c

(x)-

_a

(x)

(ср. с § 3). Величина

_-1

^K

[B]=

 

^x,a

d

_a

(x)

 

^x,a

(K

_a

[B

_T

(x)])

(41.5)

при калибровочных преобразованиях не изменяется:

_-1

^K

[B

_T

]=

_-1

^K

[B

_T

].

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что элемент интегрирования _x,ad_a является калибровочно-инвариантной величиной. В случае инфинитезимальных преобразований (которые только и нужны) это очевидно, так как

TT(')=T(+')

Забудем на время о существовании кварков, роль которых при калибровочных преобразованиях вполне ясна. Выражение (41.2) можно переписать в виде

Z=N

(dB)(d)

(u·B

_a

(x))

(K

_b

[B

_T

)

_K

[B

_T

]e

^iA_YM

,

(41.6)

где чисто янг-миллсовское действие

A

_YM

=-

1

4

d

⁴

x

G

_a

(x)G

^a

(x).

Предположим, что в выражении (41.6) производится замена переменной, вызванная калибровочным преобразованием вида

B(x)->B

_T0

(x),

где преобразование T₀ выбрано равным T^-1. При такой замене переменных получаем

Z=N

(dB)(d)

_K

[B]

(u·B

_T0a

(y))

(K[B(y)]) e

^iA_YM

.

Пусть поля B_u являются глюонными полями, удовлетворяющими условию (41.1). Поле B_T0 можно найти, производя калибровочное преобразование U(_u). Тогда имеем

(u·B

_T0

)=(u·B

_uU

),

и, таким образом, выполняется соотношение

(d)

(u·B

_T0a

(y))=

(d)

(-u·

_ua

(y)),

которое не зависит от значений полей B и, следовательно, может быть включено в нормировочный множитель N. Для производящего функционала получаем

Z=N'

(dB)

_K

[B]

(K[B]) e

^iA_YM

.

(41.7)

Теперь необходимо устранить -функцию и вычислить множитель _K. Для Устранения -функции выберем, например, лоренцеву калибровку (41.4); интегрируя выражение (41.7) по d с весом

exp

-i

2

d

⁴

x [

_a

(x)]

²

,

в левой части получаем производящий функционал Z, умноженный на не зависящий от полей B фактор

(d) exp

-i

2

d

⁴

x [

_a

(x)]

²

,

который снова можно включить в нормировочный множитель N', а в правой части интегрирование по полям d тривиально выполняется с помощью -функции. Таким образом, для производящего функционала получаем

Z=N''

(dB)

_K

[B] e

^i(A_YM+A_GF)

,

(41.8)

где фиксирующее калибровку действие имеет вид

A

_GF

=

-

2

d

⁴

x [

B

^a

(x)]^2.

Обратимся к множителю _K. Благодаря формуле (41.7) нам необходимы только такие функции B, описывающие глюонные поля, которые удовлетворяют условию (41.3). Для инфинитезимальных значений параметров калибровочного преобразования имеем K[B_T]=K[B]+(K/B)B~(K/B)B, B=B_T-B, так что

_-1

^K

[B]=

(d)

(B_a)

B

^b

(

_b

-gf

_bcd

B

^a

_c

)

.

Этой формуле можно придать более удобный вид, вводя духи Фаддеева - Попова, представленные актикоммутирующими c -числовыми функциями и . Тогда, выделяя не зависящий от полей B и нормировочный множитель N, величину _K можно представить в виде

_K

[B]

=

N

(d)(d

)

x

exp

-i

d

⁴

xd

⁴

y

_a

(y)

(B_a)

B

^b

x

_b

(x)-gf

_bcd

B

^d

_c

(x)

.

41.9

Доказательство этого выражения основано на формуле

 

ⁱ

dc

_i

 

^j

d

c

_j

e

^c_kA_kk'c_k'

=(constant)det A,

которая справедлива^52а) для антикоммутирующих c-чисел c_j, и на том факте, что вследствие равенства

^52а) Для доказательства используем соотношение

_N0

ⁱ⁼¹ dc_i

_N0

^j=1 dc_j e^c_kA_kk'c_k =

_N0

ⁱ⁼¹ dc_i

_N0

^j=1 dc_j

^N=0

c_kc_k'A_kk'

^N

1