Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

До сих пор мы рассматривали главным образом те аспекты квантовой хромодинамики, которые описываются теорией возмущений. При этом вопрос о том, использовать ли каноническую формулировку теории поля или формулировку, основанную на применении интегралов по траекториям, является в значительной мере делом вкуса. Однако при рассмотрении аспектов КХД, не описываемых теорией возмущений, большей ясности можно достигнуть, используя язык функциональных интегралов. В этом параграфе мы рассмотрим кратко формализм фейнмановских интегралов по траекториям, в частности в применении к теории поля. Конечно, это не может заменить подробного изложения метода функциональных интегралов, которое заинтересованный читатель может найти в лекциях [112, 139] или в учебниках [114, 172, 283].

Начнем с рассмотрения нерелятивистской квантовой механики в одномерном пространстве [121]. Имеется гамильтониан ^H, являющийся функцией обобщенных импульсов P и координат Q. Предполагается, что гамильтониан записан в "нормальной форме", т.е. все операторы импульса P расположены левее всех операторов координат Q. Классический гамильтониан ^H можно получить из соотношения

p|^H|q

=

e^-ipq

2

H(p,q),

(39.1)

Где состояния |p и |q удовлетворяют условиям P|p=p|p, Q|q=q|q, p|q^-ipq/2. Оценим матричные элементы оператора эволюции

q''|e

^{-i(t''-t')^H}

|q'.

(39.2)

Для этого запишем разложение оператора эволюции в ряд

e

^{-it^H}

=

 

lim

^N->

1-

it

N

^H

^N

, t=t''-t',

и вставим суммы по полным наборам векторов состояний

q''|e

^{-i(t''-t')^H}

|q'

=

 

lim

^N->

dp_n

2

dq_n

2

q''|p

_N

p

_N

|1-

it

N

^H|q

_N

x

q

_N

|p

_N-1

p

_N-1

|1-

it

N

^H|q

_N-1

…

p

_N

|1-

it

N

^H|q'.

Используя соотношение (39.1), получим

p

_n

|1-

it

N

^H|q

_n

=

exp{-ip_nq_n-(it/N)H(p_n,q_n)}

2

+O

1

N^2

,

так что окончательный результат имеет вид

q''|e

^{-i(t''-t')^H}

|q'

=

 

lim

^N

dp_n

2

dq

_n

x

exp i

p

_N

(q

''

N

-q

_N

)+…+p

₁

(q

₁

-q')

-

t

N

(H(p

_N

,q

_N

)…H(p

₁

,q'))

(39.3)

Использованный Фейнманом прием заключается во введении в рассмотрение двух функций p(t) и q(t), определяемых условиями p(t_n)=p_n и q(t_n)=q_n . Используя эти функции, можно перейти от интегралов по дискретным переменным к интегралам по непрерывным распределениям:

 

ⁿ

dp_n

2

->

 

^t

dp(t)

2

,

 

ⁿ

dq_n

2

->

 

^t

dq(t)

2

,

(39.4)

т.е. теперь интегрирование производится по всем функциям, а член в скобках в (39.3) принимает вид

^t''

 

_t'

dt

{p(t)q(t)-H(p(t),q(t))}, f

df

dt

.

Тогда полное выражение (39.3) имеет вид

q''|e

^{-it^H}

|q

=

 

^t

dq(t)dp(t)

2

exp i

^t'',q''

 

_t',q'

dt(pq-H).

(39.5)

Конечно, это выражение написано формально^51б) и имеет смысл только как предел выражения (39.3), но в этом отношении оно не очень сильно отличается от стандартного римановского определения обычного интеграла. Важная особенность выражения (39.5) состоит в том, что в него входят только классические c-числовые функции. Таким образом, сложные операторные вычисления мы свели к вычислениям функциональных интегралов.

^51б) Строгое определение функциональных интегралов типа (39.5) см. в работе [2б4]

Выражение (39.5) можно упростить. Если гамильтониан H имеет вид H=p^2/(2m)+V(q), то интеграл по импульсам dp оказывается гауссовым, и его можно вычислить точно. Производя замену переменной p->p-mq, получаем

 

^t

dp(t)

2

exp i

dt

pq-

p^2

2m

=

 

^t

dp(t)

2

exp

-i

dt

p^2(t)

2m

exp

i

dt

mq^2(t)

2

;

следовательно, выполняя интегрирование, находим

q''|e

^{-i(t''-t')^H}

|q'

=N

 

^t

dq(t) exp i

^q'',t''

 

_q',t'

dt L[q(t),q(t)].

(39.6)

При этом разность mq^2-V отождествляется с лагранжианом L, и вводится нормировочный множитель N, не зависящий от динамики взаимодействий:

N=

 

^t

dp(t)

2

exp

-i

dt

p^2(t)

2m

.

Обобщение выражения (39.6) на случай нескольких степеней свободы очевидно. Будем использовать обозначение q(t,k) вместо обозначения q_k(t), k=1,…,n, имея в виду применение полученных формул в теории поля, где число степеней свободы бесконечно. Лагранжиан L (плотность лагранжевой функции) определим формулой L=_lL. Используя введенные обозначения, получим

q''|e

^{-i(t''-t')^H}

|q'

=

N

 

^t,k

dq(t,k)

x

exp

i

^q'',t''

 

_q',t'

dt

 

^k

L[q(t,k);q(t,k)]

(39.7)

Это выражение непосредственно обобщается на случай теории поля. Рассмотрим Для простоты одно поле ; роль переменной k здесь играет пространственная координата x. Если выбрать состояние |(t,x) так, чтобы выполнялось условие

(x)|(x)=(x)|(x),

то для таких состоянии справедливо соотношение

(t'',x)|e

^{-i(t-t')^H}

|(t',x')

=

N

 

^x

d(x)

x

exp

i

^t''

 

_t'

d

⁴

x L(,)

.

(39.8)

Конечно, как и в случае обычной квантовой механики, функциональный интеграл следует понимать как некоторую предельную процедуру. Рассмотрим объем четырехмерного пространства V и разобьем его на конечное число n ячеек. Пусть точки x_j, j=1,…,n, лежат внутри j-й ячейки, каждая из которых имеет четырехмерный объем . Тогда правая часть соотношения (39.8) определяется как предел

 

lim

^V->

d(x

₁

)…d(x

_n

)

e

^{i_jL[(x_j),(x_j)]}

^n->

^->0

(39.9)