Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

N! . В силу правил интегрирования по фермионным переменным отличен от нуля только член с N=N₀ , поэтому получаем

(-1)^N₀

N₀! sign(k₁,…,k_N0) sign(k'₁,…,k'_N0) A_k1k'1…A_kN0A_k'N0, где производится суммирование no всем возможным перестановкам индексов k₁,…,k_N0; k'₁,…,k'_N0, каждый из которых пробегает значения 1, 2,…, N₀. Это не что иное, как (-1)^N₀det(A/N₀!). Дополнительный множитель (-i) в экспоненте выражения (41.9) дает вклад только в коэффициент перед формулой; это означает, что фаза фермионного члена произвольна. Мы выберем ее так, чтобы она совладала с фазой члена, соответствующего обычным скалярным полям.

dx

₁

…dx

_k

_k

ⁱ⁼¹

(f

_i

(x

₁

,…,x

_k

))

=

1

det(f_i/x_j)

,

величина _K представляет собой просто определитель (бесконечномерной) матрицы

(B

 

^a

)

B

^b

_b

-g

f

_bcd

B

^d

_c

Осталось сделать последний шаг, чтобы завершить наше рассмотрение. Функциональная производная, входящая в (41.9), имеет вид (см. приложение 3)

(B

 

^a

(x))

B

^b

(y)

=

_ab

(x-y),

поэтому оператор дифференцирования можно перенести в левую часть уравнения и провести интегрирование по d⁴y. В итоге для производящего функционала получаем

Z=

N

(dB)(d)(d

)

e

^i(A_YM+A_GF

+A

_FP

),

(41.10а)

где действие, соответствующее духам Фаддеева - Попова, имеет вид

A

_FP

=

d

⁴

x

(

_a

(x))

_ab

-gf

_abc

B

^c

(x)

_b

(x),

(41.10б)

что согласуется с результатом, полученным в § 5.

Чтобы получить функции Грина, необходимо ввести антикоммутирующие источники _a,_a; _if,_if для духов _a,_a и кварков qⁱ_f,qⁱ_f соответственно и коммутирующие источники _a для глюонных полей B_a. Таким образом, нашей отправной точкой является функционал

Z[,

;,

;]

=

(dq)(d

q

)

(d)(d

)

(dB)

x

exp i

d

⁴

x

L

^QCD

+L

,

(41.11а)

где лагранжиан L_QCD описывается формулой (5.11), а

L

=

_a

_a

+

_a

_a

+

_if

q

_i

^f

+

q

_i

^f

_if

+

_a

B

^a

.

(41.11б)

Формализм функциональных интегралов позволяет ввести чрезвычайно красивый метод, так называемый метод фоновых полей⁵³⁾, который обладает тем преимуществом, что эффективное действие, фигурирующее в этом методе (см. § 39), калибровочно-инвариантно . Это равносильно рассмотрению фиксирующего калибровку условия

⁵³⁾ Этот метод впервые был введен де Виттом и обобщен (в частности, на калибровочные теории) т’Хофтом.

K[B]=

B

^a

+gf

_adc

b

^d

B

_c

^2

,

где b — классические "фоновые" поля, сдвигающие глюонные поля B->B+b, и вычислению функциональных производных по полям b. Подробное изложение и ссылки на литературу можно найти в работе [3].

§ 42. Фейнмановские правила диаграммной техники

В § 39 утверждалось, что разложение функций Грина по степеням константы взаимодействия g, возникающее из (41.11), воспроизводит обычные фейнмановские правила диаграммной техники, которые были получены выше на основе разложения полевых операторов по операторам рождения и уничтожения и применения теоремы Вика. Правила Фейнмана можно вывести иначе, исходя из формул (41.11). Покажем это на примере трех типичных величин: глюонного пропагатора, вершины взаимодействия духов и глюонов и несинглетных составных операторов, фигурирующих в формулах процессов глубоконеупругого рассеяния.

Для получения глюонного пропагатора рассмотрим соотношение

TB

^a

(x)B

^a

(y)

₀

|

_g=0

=(-i)^2

²log Z

_a(x)_b(y)

=0

g=0

.

(42.1)

Здесь мы снова для обозначения операторов пользуемся символами с "крышками". Повторяя рассуждения § 39 и вводя для калибровочного параметра обозначение =a^-1, с точностью до 4-дивергенции можем написать цепочку равенств

-1

4

B

^a

(x)-

B

^a

(x)

B

_a

(x)-B

_a

(x)

-

a^-1

2

B

^a

(x)

^2

=

1

2

B

^a

(x)

^2B

_a

(x)-(1-a

^-1

B

_a

(x)

+

f

=

1

2

 

^a,b

B

_a

(x)(K

^-1

)

^ab

B

_b

(x)+

f

,

где множитель K имеет вид

(K

^-1

)

^ab

=

_ab

g

^2

x^2

-(1-a

^-1

)

x

x

.

(42.2)

Полагая теперь источники , , , , константу взаимодействия g в формулах (41.11) равными нулю, для производящего функционала получаем

Z

=

(dq)(d

q

)

(d)(d

)

(dB)

x

exp i

d

⁴

x

i

q

(x)

q

(x)+

1

2

B

_a

(x)

(K

^-1

)

^ab

B

_b

(x)

+

_a

(x)B

^a

(x)

.

(42.3)

Интегралы по переменным q, q, и приводят к константе, которая сокращается при вычислении логарифмической производной. Если провести замену переменной

B->B'=K

^{- 1/2}

B,

то формула (42.3) примет вид

Z

=

(constant)

(dB')J(K)

x

exp i

d

⁴

x

1

2

B''

_a

(x)B''

^a

(x)-

_a

(x)(K)

^a

(x)

.

где J(K) — якобиан преобразования. Наконец, заменим переменную интегрирования

B'->B''=B'+K

^1/2

,

так что производящий функционал теперь описывается формулой

Z

=

(constant)

(dB'')J(K)

x

exp i

(d

⁴

x

1

2

B''

_a

(x)B''

^a

(x-)

1

2

_a

(x)(K)

^a

(x)

.

(42.4а)

Множитель K удобно представить в интегральной форме

(Kf)

^a

(x)=-i

d

⁴

y D

^ab

(x-y)f

_b

(y);

(42.4б)

тогда для логарифмической производной производящего функционала получаем

²log Z

_a(x)_b(y)

^sources=0

^g=0

=-D

^ab

(x-t).

Форма пропагатора D следует из его определения. Она такова, что выполняется соотношение

~

(K^-1f')

(x)=

_ab

{g

^2-(1-a

^-1

)

}f'

_b

(x);

поэтому, проводя фурье-преобразование, обозначенное тильдой над соответствующей величиной, получаем

(K

^-1

f')

^a

(k)=

_ab

{-g

k^2+(1-a

^-1

)k

k

}f'

_b

(k);

отсюда, полагая

~

Kf'

=f,

сразу получаем результат

~

(Kf)

^a

(a)=

_ab

-g+(1-a)kk/k²

k²

f

_b

(k).

Таким образом, как и ожидалось, пропагатор глюонного поля имеет вид

TB

^a

(x)B

^a

(y)

₀

|

_g=0

=

D

^ab