Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(x-y)

=

_ab

i

(2)⁴

d

⁴

k

e

^-ik·(x-y)

-g+(1-a)kk/k²

k²

a

=

^-1

.

(42.5)

Доказательство того, что обход полюсов в выражении (42.5) задается добавкой +i0, требует либо рассмотрения асимптотических состояний, либо каких-нибудь других граничных условий на глюонный пропагатор. Эти условия можно найти в работе [112].

Для получения вершины взаимодействия духов с глюонами требуется рассмотреть величину

T

_a

(x

₁

)

_b

(x

₂

)B

^c

(x

₃

)

₀

1-й порядок по g

=

=

i³log Z

_a(x₁)_b(x₂)_c(x₃)

=0

1-й порядок по g

(42.6)

Обозначим через k оператор Клейна - Гордона, задаваемый соотношением kf(x)=^2f(x)^53а). Произведем замену переменных B->B'=K^{- 1/2} B, ->'=K^{- 1/2} , ->'=K^{- 1/2} и проинтегрируем по кварковым полям, которые в данном рассмотрении не играют роли. Тогда для производящего функционала Z получаем

^53а) Обычно этот оператор называется оператором Даламбера. — Прим. перев.

Z

=

(constant)

(d')(d

')(dB')J(k)J(k)

x

exp i

d

⁴

x

g

(k

^1/2

')

_a

(x)

f

_abc

(K

^1/2

B')

^c

(x)(k

^1/2

')

_b

(x)

+

1/2 B'

²

-

'+

(x)(k

^1/2

')

_a

(x)

+

(k

^1/2

')

_a

(x)

_a

(x)+

^a

(x)(K

^1/2

B')

_a

(x)+…

,

где многоточие обозначает члены, обращающиеся в нуль при g^2=0 и нулевых значениях источников. Произведем затем преобразования переменных

B'->B''=B'-K

^1/2

,

->''='+k

^1/2

,

->

''=

'+k

^1/2

.

Единственный член, дающий вклад в рассматриваемую вершину, содержит произведение всех трех источников и имеет вид

g

(

(k

)

_a

(x))f

_abc

(K)

^c

(x)(k)

_b

(x);

таким образом, для вершины взаимодействия духов и глюонов получаем формулу

T

_a

(x

₁

)

_b

(x

₂

)B

^c

(x

₃

)

₀

1-й порядок по g

=

d⁴p₁

(2)⁴

e

^-ix₁·p₁

 

i

p

₂

¹

d⁴p₂

(2)⁴

e

^-ix₂·p₂

 

i

p

₂

²

d⁴p₃

(2)⁴

e

^-ix₃·p₃

x

i

-g

+(1-

^-1

)p

³

p

³

/p

₂

³

p

₂

³

(2)

⁴

(p

₁

+p

₂

+p

₃

)gf

_cba

p

₁

снова в полном соответствии с ожидаемым результатом.

Наконец, рассмотрим вершину

T

q

₁

(x

₁

)N

_1…n

^NS

(x

₂

)q

₂

(x

₃

)

₀

(42.7)

в нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия g, где операторы N (см. § 19) имеют вид

N

_1…n

^NS

(x)

=

1/2 i

^n-1

S

:

q

₂

(x)

^₁

D

^₂

…D

^_n

q

₁

(x):

-

члены, содержащие свертки

(42.8)

Чтобы вычислить величину (42.7), введем в выражение (41.11) новый источник

j

_1…n

N

_1…n

^NS

(x),

так что

T

q

₁

(x

₁

)N

_1…n

^NS

(x

₂

)q

₂

(x

₃

)

₀

=

i³log Z

₁(x₁)₂(x₃)j_1…n(x₂)

 

_g=0

_{источники=0}

(42.9)

В нулевом порядке по константе взаимодействия g глюоны или духи никакой роли не играют, и по ним можно провести интегрирование. Аналогично ковариантные производные оператора N можно заменить обычными производными.

Кварковые поля рассматриваются так же, как поля глюонов или духов. Используя определения

q'

_f

=S

^1/2

q

_f

,

q

'

_f

q

_f

S

^{- 1/2}

, f=1,2,

где матрица S задается соотношениями

S

^-1

q

_f

(x)=

q

_f

(x),

q

_f

(x)

S

^-1

=

q

_f

(x)

,

находим, что в нулевом порядке по константе связи g производящий функционал описывается выражением

Z

=

(constant)

(dq)(d

q

)J(S)J(

S

)

x

exp i

d

⁴

x

q

'

₁

q'

₁

+

q

'

₂

q'

₂

+

₁

S

^1/2

q'

₁

+

₂

S

^1/2

q'

₂

+

(

q

'

₁

S

^1/2

)+(

q

'

₂

S

^1/2

)

₂

+(

S

^1/2

N

'_1…n

^NS

S

^1/2

)j

_1…n

.

(42.10)

Проведем замену переменных

q''

_f

=q'

_'f

+s

^1/2

_f

,

Единственный член, содержащий все три источника ₁, ₂ и j имеет вид

S

N

_1…1

^NS

Sj

_1…1

1/2 i

^i-1

S(

₁

S

^-1

(x)

^₁

^₁

…

^_n

(S

^-1

₁

)(x)-свертки

j

₁

…

_n

(x)

так что, используя явное выражение для матрицы S, получаем

T

q

₁

(x

₁

)N

_1…n

^NS

(x

₂

)q

₂

(x

₃

)

₀

=

d⁴p₂

(2)⁴

e

^-ip₂·x₂

d⁴p₁

(2)⁴

e

^-ip₁·x₁

i

p₁

1

2

S

^₁

p

₂

³

…p

_n

³

-свертки

x

d⁴p₃

(2)⁴

e

^-ip₃·x₃

i

p₃

(2)

⁴

(p

₁

+p

₂

-p

₃

).

Полученную формулу можно упростить, введя вектор , удовлетворяющий условию ^2=0, и свернув его с выражением (42.11):

₁

…

_n

T

q

₁

(x

₁

)N

_1…n

^NS

(x

₂

)q

₂

(x

₃

)

₀

=

d⁴p₂

(2)⁴

e

^-ip₂·x₂

d⁴p₁

(2)⁴

e

^-ip₁·x₁

i

p₁

(

·

₃

)

^n-1

d⁴p₃

(2)⁴

e

^-ip₃·x₃

i

p₃

x

(2)

⁴

(p

₁

+p

₂

-p

₃

).

(42.12)

Результат автоматически оказывается симметричным по индексам; члены, содержащие следы от произведений векторов (члены вида g^'_'), обращаются в нуль. Конечно, вершину можно восстановить дифференцированием полученного результата по компонентам векторов (/₁)…(/_n). Уравнение (42.12) приводит к фейнмановским правилам диаграммной техники, приведенным в приложении Д и используемым в § 20.

§43. Евклидова формулировка квантовой хромодинамики

Рассмотрим тензор энергии-импульса для чисто янг-миллсовской КХД, описываемый выражением (10.2). Вклад кварковых полей в этот тензор не включается; вообще кварки не имеют отношения к вопросам, рассматриваемым в этом и следующих двух параграфах. Выражение для чисто янг-миллсовского тензора энергии-импульса можно записать в виде

=-

1

2

g

 

^a

G

^a

G

^a

-

1

2

g

 

^a

G

^a

G

^a

.

(43.1)

Отсюда следует, что нулевая компонента ⁰⁰ для реальных глюонных полей положительна:

⁰⁰

=

1

2

 

^k,a

(G

_0k

^a

)^2+(G

_0k

^a

)^2

.

(43.2)