Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде ^n-1_k=0c_km^k если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка q_f, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.

При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле

M

=Z

_-1

^m

M

_u

,

где коэффициент Z_m - число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 - 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Z_m . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим

S

^R

(p)

=

i

p-M

+

i

p-M

-[

_F

(

p

-

M

)+(

p

-

M

)

₊

^F

]-

M

-

(1-)(

p

-

M

)N

C

_F

g^2

16^2

+3N

C

_F

M

g^2

16^2

i

p-M

,

где введены обозначения

M

=

M

_u

+

M

,

Z

_F

=1+

_F

.

Условия перенормировки приводят тогда к соотношениям

₊

^F

+

_F

=-(1-)N

C

_F

g^2

16^2

диагональна,

_F

M

=

M

_F

,

M

M

=(

M

)M ,

M

=3N

C

_F

g^2

16^2

M

.

Таким образом, совокупность фермионных полей и массовая матрица преобразуются как одно целое, а перенормировочные множители имеют вид

Z

_-1

^F

1+N

C

_F

g^2

16^2

,

Z

_m

1-N

C

_F

g^2

16^2

,

(29.8 а)

т. e.

Z

_F

=Z

_F

·

1

,

Z

_m

=Z

_m

·

1

.

(29.8б)

Этот результат доказан в низшем порядке теории возмущений, но уравнения ренормгруппы обеспечивают его справедливость и в ведущем порядке по константе связи _s .

Этот результат можно объяснить и другим способом. Инвариантность лагранжиана относительно преобразований (29.4) подразумевает, что контрчлены всегда можно выбрать так, чтобы они обладали инвариантностью относительно этих преобразований; поэтому массовая матрица после перенормировки по-прежнему останется диагональной. Фактически это доказательство свидетельствует о том, что в не зависящей от масс перенормировочной схеме (подобной схеме MS) уравнения (29.86) в действительности справедливы во всех порядках теории возмущений.

Полученные нами результаты показывают, что, если все массы m_l различны и не равны нулю^42в), единственная глобальная симметрия, которой обладает лагранжиан, связана с сохранением такого квантового числа, как аромат, и описывается преобразованиями (29.4). Однако, как утверждалось выше, пренебрежение массами кварков m_l может представлять собой достаточно хорошую аппроксимацию. В таком случае все преобразования, представленные соотношениями (29.2), оказываются преобразованиями симметрии лагранжиана. Степень нарушения симметрии определяется, например, дивергенциями соответствующих генераторов. Хотя этот вопрос уже рассмотрен в § 10, мы приведем некоторые дополнительные подробности.

^42в) По-видимому, это действительно так. Как мы увидим ниже (см. § 31), ожидается, что массы кварков удовлетворяют соотношениям m_d/m_u2, m_s/m_d20, m_u6 МэВ.

Параметрируем преобразование W в виде exp{(i/2)_a^a}, где - матрицы Гелл-Манна^42г). Операторы, выполняющие преобразования (29.2), обозначим U_±:

^42г)Мы рассматриваем случай трех ароматов n_f=3. В случае двух ароматов n_f=2 матрицы Гелл-Манна следует заменить матрицами Паули .

U

_±

1±₅

2

q

_l

U

_-1

±

=

 

^l'

(e

^(i/2)_aa

)

_ll'

1±₅

2

q

_l'

.

(29.9)

Для бесконечно малых значений параметра запишем эти операторы в виде

U

_±

1-

i

2

L

_a

^±

_a

, (L

_a

^±

)

⁺

=L

_a

^±

,

так что из (29.9) следуют уравнения

[L

_a

^±

,q

_l±

(x)]=-

 

^l'

_a

^ll'

q

_l'±

(x) , q

_l±

1±₅

2

q

_l

.

(29.10)

Поскольку операторы U оставляют инвариантным член лагранжиана, описывающий взаимодействие, уравнения (29.10) можно решить для случая свободных полей. Результат имеет вид^42д)

^42д) Для проверки решения (29.11) можно воспользоваться коммутационными соотношениями для свободных полей (приложение Е); это оправдано тем, что на малых расстояниях КХД переходит в свободную квантовопетлевевую теорию

L

_a

^±

(t)=:

¹

 

₀

dx

 

^ll'

q

_l±

(x)

⁰

_a

^ll'

q

_l'±

(x): , t=x

⁰

.

(29.11)

В этих операторах можно узнать заряды, соответствующие токам

J

_a

^±

(x)=:

 

^ll'

q

_l

(x)

_a

^ll'

1±₅

2

q

_l'

(x): .

(29.12)

Если рассматриваемая симметрия точная, то J^a_±=0; тогда легко видеть, что величины L^a_±(t) в действительности не зависят от времени. Иначе, нужно определить одновременные преобразования и модифицировать уравнения (29.9) и (29.10), например, так:

[L

_a

^±

(t),q

_l±

(x)]=-

 

^l'

_a

^ll'

q

_l'±

(x) , t=x

⁰

.

(29.13)

Совокупность преобразований

U

_±

(,t)=exp

-i

2

L

_a

^±

(t)

_a