Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Хотя выражение (27.20) при разумном выборе кварковых масс можно привести в согласие с экспериментальными данными, но этот результат трудно принимать всерьез, так как вклады от операторов высших твистов в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (фактически мы здесь имеем массовую сингулярность); простая факторизация, использованная при выводе (27.20), здесь не применима. Таким образом, коэффициент перед поправкой пока неизвестен.

"Жесткая" часть пионного формфактора, очевидно, расходится в инфракрасном пределе (член 1/(1-) в выражении (27.15). Но, к счастью, в ведущем порядке теории возмущений выполняется соотношение

¹

 

₀

d(,Q^2)

ⁿ

 

->

Q^2->

S

_n0

^A

₀₀

,

откуда следует предельное соотношение

(Q^2)

 

->

^{Q^2->}

(1-)^A

₀₀

и возможные расходимости сокращаются. Поэтому некоторые эксклюзивные процессы в конечном счете все же поддаются расчетам в рамках простой теории возмущений. Однако, как видно из члена, описывающего в (27.20) вклад операторов твистов, следующих за ведущим, это не всегда справедливо. В действительности для некоторых процессов инфракрасные расходимости появляются уже на уровне операторов ведущего твиста. Например, можно рассмотреть скалярный формфактор

D(t)=(2)

^-3

|

_us

(0)|K

⁰

,

_us

=

i

_u(x)

s(x),

(27.21 а)

Вычисления этой величины аналогичны вычислениям пионного формфактора. Единственное отличие связано с присутствием смешанного псевдоскалярно-аксиальновекторного вклада (номинально высшего твиста), который в действительности является ведущим. Используя соотношения, основанные на частичном сохранении аксиального тока (§ 31), находим

D(t)

12C_Fs(-t)ff_K

-t

{(

m

₂

^s

-

m

₂

^u

)+(m

₂

^K

-m

₂

)}log

_t

^{M^2}

.

(27.21 б)

Здесь первый член имеет аксиально-аксиальный характер, второй описывает вклад смешанных операторов; но оба они в инфракрасном пределе оказываются расходящимися (если использовать простую факторизацию). Эти два примера (вклад операторов следующего за ведущим твиста в пионный формфактор и скалярный формфактор (27.21)) показывают, что в отличие от инклюзивных процессов эксклюзивные процессы чрезвычайно чувствительны к инфракрасным расходимостям, и для каждого конкретного процесса следует проверять, применима ли непосредственно теория возмущений КХД или нет. Учитывая эти замечания, завершим настоящий параграф очень короткой сводкой результатов для некоторых эксклюзивных процессов.

Из примера рассмотрения пионного формфактора можно вывести общее правило: амплитуда эксклюзивного процесса имеет вид (рис. 24, д)

A

⁺

K ,

где — волновая функция связанного состояния B:

0|Tq

₁

(x

₁

)…q

_n

(x

_n

)|B ,

ядро уравнения K определяется формулой

K

_sQ^2

Q^2

^n-1

.

Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение

F

_N

_s(-t)

-t

²

,

а для дейтона формфактор определяется формулой

F

_d

_s(-t)

-t

⁵

,

которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид

d(A+B->C+D)

dt

_fixed

₂

^s

(t)

-t

F

_A

(t)F

_B

(t)F

_C

(t)F

_D

(t)f .

Дальнейшие подробности и ссылки на литературу можно найти в работе [54]. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [103] (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).

Глава IV. МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД

§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика — Аппепквиста — Каррадзоне

Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренорм групповая бета-функция _n или аномальная размерность ⁽ⁿ⁾, нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на -функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q^2 можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых безмассовый m_l=0, а другой тяжелый m_h>>. Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем

_s

(Q^2,^2)

=

12

(33-2n_f) log Q^2/^2

{1-…} ,

(28.1)

где n_f=2. Естественно предположить, что использование значения n_f=2 приводит к правильному выражению для бегущей константы связи _s при Q >> m_h , но существует область значений переданного импульса m_h >> Q >> для которой лучше использовать значение n_f=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка m_h экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь массивные частицы.