Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [17]^41в), согласно которой в случае Q_h существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q^2/m^2_h . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q^2^2, где m- любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка m_h . Если мы хотим сохранить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q^2, более сложную, чем просто логарифмическая.

^41в) В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе [262].

Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28.1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением _s=g²/4, где g представляет собой решение уравнений (12.6):

dg

d log Q/

=

g

(

g

) ,

g

_Q=

=g ,

(28.2 а)

где

d

d

g=g(g) , =-Z

_-1

^g

d

d

Z

_g

.

(28.2 б)

Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/=, из уравнений (12.1) и (12.7) получаем

D

_tr

(q^2;g,m;^2)

=

D

_tr

(^2;

g

,

m

;^2)exp

-

^log

 

₀

d log '

_D

[

g

(')]

.

(28.3)

В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна _D=2₀g^2/16^2, а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением

D

_tr

(q^2;g,m;^2)

=

2

Q^2/^2

D

_tr

(^2;

g

,

m

;^2).

(28.4)

Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат⁴²⁾:

⁴²⁾ Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q² . Прим. перев.

D

_tr

(^2;

g

,

m

;^2)

=

K

+

2_s(Q^2)T_F

x

¹

 

₀

dx x(1-x)log

m^2+x(1-x)^2

^2

,

где K - константа. Сначала выберем =; тогда

D

_tr

(q^2;g,m;^2)

=

2

log Q^2/^2

K+

2_s(Q^2)T_F

x

¹

 

₀

dx x(1-x)log

x(1-x)+

m^2(Q^2)

^2

.

(28.5)

Если m>>, то справедливо приближенное равенство

D

_tr

q^2;g,m;^2)

K+

_s(Q^2)T_F

log

m^2(Q^2)

^2

2

log Q^2/^2

.

(28.6)

Если m^2>>Q^2, то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов n_f зависящего от масштаба импульсов, например ^42а)

^42а) Возможны и другие интерполяционные формулы или процедуры (см. [76] и особенно работу [258], где можно найти подробное обсуждение этого вопроса, включая вычисление зависимости от эффективного значения n_f). Какой из интерполяционных формул пользоваться, в значительной мере безразлично, так как в КХД зависимость всех величин от n_f в области n_f=3-6 очень слабая.

n

_f

(Q^2)=

_nf

^f=1

1-

4m

₂

^f

Q^2

1/2

1+

2m

₂

^f

Q^2

(Q^2-4m

₂

^f

).

(28.7)

Необходимо доказать, что такая процедура последовательна. Что формула (28.7) справедлива для значений Q больших, чем все массы кварков, мы уже знаем; поправки имеют величину O(m^2_q/Q^2). Завершим доказательство, показав, что эта формула справедлива и для случая Q^2^2. Рассмотрим с этой целью выражение для глюонного пропагатора. Отсюда будет ясно, как распространить доказательство на общий случай.

Поскольку вклады кварков и глюонов в выражение для глюонного пропагатора D_tr аддитивны, достаточно рассмотреть только первый из них. В ведущем порядке теории возмущений имеем

D

_{(кварки)}

^tr

=1-

_g

¹

 

₀

dx x(1-x)log

x(1-x)Q^2+m^2

^2

(28.8)

В этом порядке необходимости учета перенормировки величин a_g или m не возникает. Для случая Q^2^2 получаем

D

_{(кварки)}

^tr

=1-

_g

6

log

m^2

^2

-

_g

30

·

Q^2

m^2

,

(28.9)

т.е. результат, постоянный с точностью до членов O(Q^2/m^2). Следовательно, с точностью до этих членов он совпадает с глюонным пропагатором, вычисленным для нулевого числа ароматов, но имеет другое значение параметра '^2, а именно '^2=^2{1+log m^2/nu^2}. Так как физические наблюдаемые не зависят от значения , тяжелыми кварками, приводящими только к членам O(Q^2/m^2), можно пренебречь .

Случай глюонного пропагатора особенно прост; в общем случае поправки имеют величину порядка log(m^2/Q^2)(Q^2/m^2).

Теорема "развязки" особенно наглядна в -схеме перенормировок. Рассмотрим снова вклад кварков в выражение для глюонного пропагатора. Проводим вычисления во втором порядке теории возмущений и, вспоминая выражение (9.21), получаем

D

_{(кварки)}

^{u tr}

(q^2)

=

i+T

_F

g^2

16^2

2

3

N

n

_f

-4

¹

 

₀

dx x(1-x)

x

_nf

^f=1

log

m

₂

^f

-x(1-x)q^2

₂

⁰

+ … .

Напомним, что -схема перенормировок возникает, если потребовать выполнения условия D^{(кварки)}_{R tr}(q^2=-^2)=D_{своб. tr}(-^2), а следовательно справедливо равенство

D

_{(кварки)}

^{R tr}

i+T

_F

g^2

16^2

-4

¹

 

₀

dx x(1-x)

 

^f

m

₂

^f

-x(1-x)q^2

m

₂

^f +x(1-x)^2