Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

m

₄

dx e

^iq·x

T

(x)

(0)

⁺

_vac

_q->0

.

В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде

i

d

⁴

x e

^iq·x

T

(x)

(0)

⁺

_vac

_q->0

=

1

m

₂

-q²

+

1

dt'

Im

t'-q^2

_q->0

=

1

m

₂

+

1

dt'

Im

t'

;

=

i

d

⁴

x e

^id·x

T

_n

(x)

(0)

⁺

_vac

.

Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле^47а) m^2->0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат

^47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: A=0.

(m

_u

+m

_d

)

u

u+

d

d

_vac

=

-f

₂

m

₂

1+O(m

₂

)

.

(31.4)

Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее qq_vac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства f=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между "голыми" и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно, что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство m_R(qq)_R = m_u(qq)_u .

Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m^2) или O(m^2_K), получим

(m

_u

+m

_s

)

u

u+

s

s

_vac

=

-f

₂

^K

m

₂

^K+

,

(m

_d

+m

_s

)

d

d+

s

s

_vac

=

-f

₂

^K

m

₂

^K0

.

(31.5)

Если предположить, что вакуумное среднее qq одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить

m_s+m_u

m_d+m_u

f

₂

^K

m

₂

^K+

f

₂

m

₂

 ,

m_d-m_u

m_d+m_u

f

₂

^K

f

₂

·

m

₂

^K0

-m

₂

^K+

m

₂

.

Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы и K-мезонов. Учитывая их, получаем⁴⁸⁾

⁴⁸⁾ См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]

m_s

m^d

=18±4 ,

m_d

m^u

=2.0±0.3

(31.6)

Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков m_s-m_d100 - 200 МэВ m_d-m_u4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:

m

_u

(q~m

_p

)6,

m

_d

(Q~m

_p

)10,

m

_s

(Q~m

_p

)200,

(31.7)

где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.

Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.

§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них

В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция

₅

^ij

(q^2)

=

i(m

_i

+m

_j

)^2

d

⁴

x e

^iq·x

TJ

₅

^ij

(x)J

₅

^ij

(0)

⁺

_vac

,

(32.1)

где ток J⁵ имеет вид

J

₅

^ij

q

_i

₅

q

_j

.

Во всех порядках теорий возмущений функция

F

_ij

(Q^2)

=

^2

(q^2)^2

₅

^ij

(q^2) ,

Q^2=-q^2 ,

в пределе Q^2-> обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:

F

_ij

(Q^2)

=

2

 

₀

dt

Im

₅

^ij

(t)

(t+Q^2)^3

.

(32.2)

Левую часть этого равенства при больших значениях Q^2 можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ⁵J⁵⁺, вклад операторов qq, xqq и G^2=_aG_aG_a также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы _sG^2 и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем

F

_ij

(Q^2)

=

3

8^2

·

[m_i(Q^2)+m_j(Q^2)]^2

Q^2

x

1+O

m^2

Q^2

+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3

·

_sG^2

Q⁴

-

16²

3Q⁴

m

_j

-

m_i

2

q

_i

q

_i

+

m

_i

-

m_j

2

q

_j

q

_j

.

Вклады операторов qq и G^2 оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора mqq можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m^2/Q^2) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем

F

_ij

(Q^2)

=

3

8^2

·

[m_i(Q^2)+m_j(Q^2)]^2

Q^2

x

1+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3Q⁴

_s

G^2

.

(32.3)

Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим

2

 

₀

dt

Im ⁵(t)

(t+Q^2)^3

=

4f

₂

m

₄

1

(m

₂

+Q^2)^3

+

2

 

 

_9m²

dt

Im ⁵(t)

(t+Q^2)^3

.

(32.4)

Здесь важно, что Im ⁵(t)>=0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины m_u+m_d и m,f,_sG^2 :

[

m

_u

(Q^2)+

m

_d

(Q^2)]^2

>=

32^2f

₂

m

₄

3(m

₂

+Q^2)^3

x

1+

11

3

·

_s(Q^2)

+

2

3Q⁴

_s

G^2

^-1

.

(32.5)

Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q^2) и оптимизируя ее по переменным N и Q². Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем

m

_u

+m

_d

>=

2

3

1/2

·

8m

₂

f

₂

3G^2 ^1/2

{1±} ,

(32.6)

где - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего _sG^2₀ , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:

m

_u

+m

_d

>=(23±8) МэВ ,

_s

G^20.044

_+0.014