Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов и K^44а) мы "объясняем" тем, что в пределе m_u, m_d, m_s->0 мы получили бы m->0 и m_K->0. Действительно, несколько ниже будет показано, что⁴⁶⁾

^44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.

⁴⁶⁾ Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. — Прим. перев.

m

₂

m

_u

+m

_d

, m

₂

^K

m

_s

+m

_u,d

.

(30.7)

Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и симметрии по ароматам; они справедливы с точностью до поправок порядка m^2/m^2 для группы SU_F(2) и с точностью до поправок порядка m^2_K/m^2_K^* в случае группы SU_F(3).

Отметим также, что симметрия Намбу - Голдстоуна [203, 205, 206] не может быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Q^a₅(t)|0=0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе m->0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0 , а для физического вакуума обозначение |vac. Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде

Q

^a

(t)|vac=0 , Q

_a

⁵

(t)|vac/=0 .

(30.8)

Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a⁺_mG(p) - оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния

a

₊

^m_G

(0)

⁽ⁿ⁾

…a

₊

^m_G

(0)|(0)=|n

вырождены в пределе m_G->0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид

|vac=

C

_n

|n.

Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе m_q->0.

§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков

Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток

A

^ud

(x)=

u

(x)

₅

d(x) ,

и его дивергенцию

A

^ud

(x)=i(m

_u

+m

_d

)

u

(x)

₅

d(x) .

Последняя величина имеет квантовые числа ⁺-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем

A

^ud

(x)=

2

f

m

₂

(x) .

(31.1)

Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле (x) нормировано следующим образом:

0|

(x)|(p)

=

1

(2)^3/2

(31.2а)

где |(p) - однопионное состояние с импульсом p. Константа f может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад ->. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид

L

_F

^int

=(G

_F

/

2

)

(1-

₅

)

u

(1-

₅

)d+… .

Используя его, мы получаем

F(->)

=

2G_F

2

u

(p

₂

)

(1-

₅

)

v

(p

₁

,)

0|A

^ud

(0)|(p) .

Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство

0|A

^ud

(0)|(p)=ip

C

(31.2б)

свернув которое с компонентой импульса p , получим результат C=f2/(2)^3/2:

m

₂

C

0|

A

^ud

(0)|(p)=

2

f

m

₂

1

(2)^3/2

;

(31.2в)

следовательно,

r(->)

=

4

(1-m

₂

/m

₂

)² G

₂

^F f

₂

mm

₂

.

Таким образом, константа f непосредственно связана со скоростью распада -> . Экспериментально получено значение f93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство

A

^us

(x)

=

2

f

_K

m

₂

^K

_K

(x) ,

(31.3)

мы получим экспериментальное значение f_K110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины f . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе m_{u, d, s}->0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения f и f_K реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SU_F(3).

Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)⁴⁷⁾, что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.

⁴⁷⁾ Действительно, в пределе m^2->0 правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.

Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении A_ud мы опускаем)

F

(q)

=

i

d

⁴

x e

^iq·x

TA

(x)A

(0)

⁺

_vac

,

и их сверток с компонентами импульса q и q

q

q

F

(q)

=

-q

d

⁴

x e

^iq·x

TA

(x)A

(0)

⁺

_vac

,

=

-q

d

⁴

x e

^iq·x

(x

⁰

)

[A

⁰

(x),A

(0)

⁺

]

_vac

-

-q

d

⁴

x e

^iq·x

TA(x)A

(0)+

_vac

,

=

2i

d

⁴

x e

^iq·x

(x

⁰

)

[A

⁰

(x)A(0)

⁺

]

_vac

+

i

d

⁴

x e

^iq·x

TA(x)A(0)

⁺

_vac

.

Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем

q

q

F

(q)

=

2(m

_u

+m

_b

)

d

⁴

x e

^iq·x

(x)

u

(x)u(x)+

d

(x)d(x)

_vac

+

2if

₂

m

₄

d

⁴

x e

^iq·x

T

(x)

(0)

⁺

_vac

,

или в пределе q->0

2(m

_u

+m

_d

)

u

(0)u(0)+

d

(0)d(0)

_vac

=

-2if

₂