Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Но этого быть не может, поскольку, как мы видели, процессы с коллинеарными частицами (рис. 23, в) приводят к расходимостям. Однако инклюзивные сечения рассеяния, по-видимому, конечны даже в КХД⁴¹⁾. Технический прием состоит в том, что рассматривают не сами процессы, в которых кварки и (или) глюоны имеют определенные импульсы p₁,…,p_n и которые, вообще говоря, приводят к расходящимся результатам, а интегрируют сечения рассеяния с некоторыми гладкими функциями (p₁,…,p_n), т.е. рассматривают сечения рассеяния в интервале конечных состояний. Как правило, изучают величину

⁴¹⁾ В квантовой электродинамике это утверждение известно как теорема Блоха — Нордсика [42]. В КХД подобные результаты следуют из обобщений [191] теоремы Киношиты [182].

(

p

₁

,…,

p

_n

)

=

dp₁

2p

₀

¹

…

dp_n

2p

₀

ⁿ

(

p

₁

,…,

p

_n

)

(i->

p

₁

,…,

p

_n

),

где функция (p) имеет острый максимум в окрестности среднего значения импульса p.

Поскольку кварки и глюоны, конечно, непосредственно не детектируются, необходимо развить метод, позволяющий установить струйный характер сечений такого рода процессов. Этот метод заключается в основном в измерении наблюдаемых величин, конечных в инфракрасном пределе [236], которые отражают отклонения от сферической симметрии распределения по импульсам в конечных состояниях. Такой характеристикой является, например, "траст" (thrust) T [115]:

T=

 

max

v

|p_i·v|

|p_i|

;

для двухструйного события T=1, а для сферически-симметричного события T=1/2. Тогда можно ожидать, что в процессе e⁺e^--аннигиляции T1-O(_s).

Мы не будем углубляться в изучение струй, а отсылаем читателя к работе [881, содержащей всесторонее рассмотрение двух- и главным образом трехструйных событий (как в распадах Y-мезонов; рис. 23, г), к работе [200], посвященной струям в процессах глубоконеупругого рассеяния, или к обзору [109]. Добавим только, что двух- и трехструйные события наблюдались в экспериментах; при этом трехструйные события дают прямое доказательство существования глюонов и кварк-глюонного взаимодействия. Полученные для этих процессов [10] значения константы взаимодействия _s(Q^2(35 ГэВ)^2)0,125±0,01 и параметра обрезания =110⁺⁷⁰_-50МэВ находятся во впечатляющем согласии с полученными ранее значениями.

3. Эксклюзивные процессы

Рассмотрим в несколько упрощенном виде вопрос о пионном формфакторе; мы надеемся, что этого окажется достаточно, чтобы распространить данный подход на изучение других процессов, для которых будут приведены лишь окончательные результаты.

Пионный формфактор F определим следующим соотношением:

V

(p

₁

,p

₂

)

=

(2)^3(p

₂

)|J

^em

(0)|(p

₁

)

=

(p

¹

+p

²

F

(q^2) , q=p

₂

-p

₁

,

(27.8)

где функция F нормирована на единицу: F(0)=1. Опуская индекс em для тока J , перепишем это соотношение в виде

V

(p

₁

,p

₂

)=^3

(p

₂

|TJ

⁰

(0)e

^{id4xL0_int(x)}

|(p

₁

).

Во втором порядке теории возмущений отсюда следует соотношение как обычно,

q

₀

^u

q

₀

, B

₀

^u

B

₀

, … - свободные поля)

V

(p

₁

,p

₂

)

=

-(2)^3

g^2

2!

 

^f=u,d

Q

_f

d

⁴

x d

⁴

y

x

(p

₂

)|T

q

_f0

(0)

q

_f0

(0)

x

 

^a,b

{

u

₀

(x)

t

^a

u

₀

(x)

d

₀

(y)

t

^b

d

₀

(x)

+(x->y)}

x

B

_a

⁰

B

_b

⁰

(y)|(p

₁

).

(27.9)

Рис. 24. Диаграммы, описывающие эксклюзивные процессы (а — г — пионный формфактор).

Различные комбинации порождают диаграммы рис. 24, а и б. Члены, соответствующие диаграммам рис. 24, а, опущены, так как они не дают вклада в конечный результат. Используя для обозначения цветовых индексов символы i, j, k, а в качестве дираковских индексов символы , и и опуская индекс 0, обозначающий свободные поля, вклад диаграммы рис. 24, б можно записать в виде

V

(p

₁

,p

₂

)

=

-(2)^3g

²

d

⁴

x d

⁴

y

x

(p

₂

)|

u

_i

(0)

d

_k'

^'

(y)

^'

S

_'

(-x)t

_a

^ii'

t

_b

^kk'

x

^'

^'

D

(x-y)

_ab

u

_i'

^'

(x)

d

_k

(y)|(p

₁

)

+

"кросс"-член,

где "кросс" обозначает свертку с другой комбинацией индексов. Можно произвести пространственно-временной сдвиг на величину y. Тогда получаем z=x-y

V

(p

₁

,p

₂

)

=

(2)^3g^2

d⁴z

(2)⁴

d⁴y

(2)⁴

d

⁴

k

d

⁴

p

x

e

^iz·(p-k)

e

^{iy·(p+p₂-p₁)}

x

(p

₂

)|

u

_i

(-y)d

_k'

(0)

 

^F

|F

F|u

_i

^'

(z)

d

_k

(0)|(p

₂

)

^'

x

-p_'

p^2k^2

^'

^'

g

t

_c

^ii'

t

_c

^kk'

+(p

₁

->p

₂

),

где (p₁->p₂) возникает из "кросс"-члена. Вклад калибровочных членов явно не выписан, так как в ведущем порядке теории возмущений он обращается в нуль. При получении последнего выражения введен полный набор состояний; в ведущем порядке вносят вклад только вакуумные состояния:

 

^F

|FF||0|+O(

_s

).

Глюонный пропагатор D использован в калибровке Ферми — Фейнмана, но результат (после добавления члена p₁->p₂), конечно, является калибровочно-инвариантным. Далее в случае трех цветов (число цветов n_c=3)

u

_i

^'

(z)

d

_k

(0)

=

_ik

4n_c

(

₅

)

_'

d

(0)

₅

u

_z

-

_ik

4n_c

(

₅

)

_'

d

(0)

₅

u(z)+…;

(27.10)

другие члены не дают вклада, так как пион представляет собой синглетное по цвету псевдоскалярное состояние. В самом деле, оператор d₅u является оператором твиста 3 и, следовательно, в ведущем порядке теории возмущений может быть опущен. Таким образом, получаем

V

(p

₁

,p

₁

)

=

(2)^3

C_Fg^2

48

d⁴z

(2)⁴

d⁴y

(2)⁴

d

⁴

k

d

⁴

e

x

e

^iz·(p-k)

e

^{-iy·(p+p₂-p₁)}

x

Tr p₅₅

p²k²

0|

d

(0)

₅

u(z)|(p

₁

)

x

(p

₂

)|

u

(y)

₅

d(0)|0+(p

₁

->p

₂

).

(27.11)