Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Сосредоточим внимание на вычислении членов 0|…|. Их можно разложить в ряд по степеням переменных z и y: например,

0|

d

(0)

₅

u(z)|(p

₁

)

=

 

ⁿ

z^₁…z^_n

n!

S0|

d

(0)

₅

D

₁

…D

_n

u(0)|(p

₁

);

(27.12 а)

если пренебречь членами, пропорциональными массе пиона, то получаем

(2)

^2/3

0

d

(0)

₅

D

₁

…D

_n

u(0)|(p

₁

)

i

ⁿ⁺¹

p

₁

p

₁₁

…p

_1n

_n

.

(27.12 б)

Все выкладки были выполнены формально. После перенормировки надо заменить константу связи g на бегущую константу g(^2) и учесть, что множитель _n приобретает зависимость от : _n=_n(^2). Чтобы избежать появления логарифмических членов log(Q^2/^2), выберем параметр ^2=Q^2=-(p₂-p₂)^2. Если теперь "партонную волновую функцию" определить в виде

¹

 

₀

d

ⁿ

=

_n

,

(27.12 в)

то выражение (27.11) можно представить в физически очень наглядном виде

(2)

^2/3

0|

d

(0)

₅

u(z)|(p

₁

)

=

ip

₁

¹

 

₀

d (,^2)e

^ip₁·z

(27.13)

и, проведя в (27.11) интегрирование по переменным z,y;k,p , получить следующий результат:

V

(p

₁

,p

₂

)

=

C_Fg^2

48

¹

 

₀

d(,^2)

¹

 

₀

d

^*

(,^2)

x

Tr pp₁₅p₂₅

p²k²

+

(p

₁

->p

₂

) ,

(27.14 а)

где

p=p

₁

-(1-)p

₂

,

k=(1-)p

₂

-(1-)p

₂

.

(27.14 б)

Таким образом, нам удалось разбить вершину на "мягкую часть", описываемую волновыми функциями и ^*, и на "жесткую часть" (рис. 24, в и г). Переменные и описывают долю импульса, приходящуюся на каждый кварк. Вычислив след в формуле (27.14), приходим к окончательному результату

F

(q^2)

=

4C_Fs(Q^2)

6Q^2

¹

 

₀

d

(,Q^2)

1-

^2

+O

M

₂

Q

₂

 

+O(

₂

^s

),

Q^2

-q^2

(27.15)

Последняя задача состоит в вычислении зависимости волновой функции от Q^2. Операторы, которые определяют функцию с помощью уравнений (27.12), аналогичны операторам, определяющим несинглетную часть структурных функций в процессах глубоконеупругого рассеяния (§ 19, 20). Но есть и некоторые дополнительные трудности: ввиду недиагонального характера матричных элементов суммарные расходимости приводят к ненулевому вкладу. Операторы N1…nA,n,k, k=0,…,n ,

N

_1…n

A,n,k

=

^_n

d

(0)

₅

D

^₁

…D

^_k

u(0)

(27.16)

при проведении перенормировок преобразуются друг через друга по формуле

N

_A,n,k

->

 

^k'

Z

_n+1,k'

N

_A,n,k

.

(27.17 а)

При k=n элементы матрицы Z_n+1,n совпадают с элементами, вычисленными в § 20:

Z

_n+1,n

=1+

g^2N

16^2

C

_F

4S

(n+1)-3-

2

(n+1)(n+2)

;

(27.17 б)

при k=n-1 они имеют значения

Z

_n+1,n

=

g^2N

16^2

C

_F

2

n+2

-

2

n-k

.

(27.17 в)

Чтобы получить операторы, обладающие определенным поведением в пределе Q^2-> ^41а), нужно диагонализовать матрицу Z. Пусть этого можно достигнуть при помощи матрицы S ; тогда, обозначив через ^A_k диагональные матрицы, получаем соотношение

^41а) Красивый альтернативный метод, основанной на свойствах конформной инвариантности, приведен в работе [117].

A

_n

(Q^2)

=

_n

^k=0

S

_nk

^A

_k

(Q^2).

(27.18)

Аномальные размерности матриц ^A_k представляют собой собственные значения матрицы Z. Но из треугольного характера матрицы Z следует, что ее собственные значения являются просто ее диагональными элементами. Следовательно, в пределе Q^2-> имеем

^A

_k

(Q^2)

 

Q^2->

[

_s

(Q^2)]

^d_NS(k+1)

^A

_k0

В ведущем порядке теории возмущений, учитывая неравенство d_NS(k+1) d_NS(1)=0, нужно сохранить только один член в (27.18), так что получаем результат

A

_n

(Q^2)

 

->

^{Q^2->}

S

_n0

^A

₀₀

откуда следует предельное соотношение

¹

 

₀

d

(,Q^2)

1-

 

->

^{Q^2->}

^A

₀₀

 

ⁿ⁼⁰

S

_n0

.

Легко убедиться, что элементы S_n0 матрицы S имеет вид

S

_n0

=

1

n+2

-

1

n+3

.

Кроме того, известен также элемент ^A₀₀ . Из уравнений, основанных на гипотезе о частичном сохранении аксиального тока (см. § 31, в частности (31.26)), следует равенство

(2)

^3/2

0|

d

(0)

₅

u(0)|(p)

=ip

2

f

, f

_{93 МэВ}

поэтому величина

A

₀

=

¹

 

₀

d(,Q^2)=

2

f

не зависит от Q² . Отсюда получаем ^A₀₀=62f .

Окончательный результат имеет вид^41б)

^41б) В своем изложении мы следуем работам [53, 105, 116]. Тот же результат можно получить, используя так называемую теорию возмущений на световом конусе [54].

F

(t)

 

Q^2->

12C

_F

f

₂

_s

(-t)

-t

.

(27.19)

Поправки к этой формула имеют величину O(^d_NS(3)_s=^0,6_s); в действительности для четных значений n в силу зарядового сопряжения результат оказывается равным нулю.

Пример вычисления пионного формфактора полезен в нескольких отношениях. Из сравнения выражения (27.19) с экспериментальными результатами видно, что теоретическое значение слишком мало. Это, конечно, можно отнести на счет следующих за ведущими пертурбативных поправок. Однако, по-видимому, происходит нечто иное, а именно поправки, связанные с операторами высших твистов, вследствие малости масс кварков u и d становятся чрезвычайно существенными. Действительно, рассмотрим вклад псевдоскалярного члена в выражение (27.10). Смешанный член дает вклады, подавленные по сравнению с выражением (27.19) множителем m^2/t , и им можно пренебречь; но псевдоскалярно-псевдоскалярный вклад содержит квадрат матричного элемента 0|d₅u|, который, как легко убедиться, используя уравнение движения, пропорционален величине fm^2(m_u+m_d). Повторяя проведенный выше анализ; получаем результат

F

(t)

=

12C

_F

f

₂

_s

(-t)

-t

1+

4m

₄

log(-t/m

₂

)

-(m_u+m_d)^2t

.

(27.20)