Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

²⁸⁾ В действительности компоненту z₂ можно сделать сколь угодно большой. Однако этому соответствует z₂0. При этом в силу локального характера теории коммутатор [J(z),J(0)] равен нулю; ненулевой вклад возникает только в случае z²,₂~z²,₀, т.е. при z²~0.

Из хорошо известного свойства фурье-преобразования следует, что при фиксированном значении переменной x поведение фурье-образа коммутатора токов в (17.2 б) или хронологического произведения в (17.8 а) при больших значениях переменной q определяется областью z²O(1/q²), иными словами, поведением коммутатора или хронологического произведения адронных токов

[J

(z)+,J

(0)]

или

J

(z)J

(0)

(17.10)

на световом конусе.

Рис. 13. Партонная модель.

Учитывая явление асимптотической свободы, следует ожидать, что эти коммутаторы и хронологические произведения можно вычислить с точностью до логарифмических поправок, пренебрегая взаимодействием кварков и рассматривая адронную мишень как совокупность свободных кварков. Такая модель, названная партонной моделью, была предложена Фейнманом [119]. Чтобы понять некоторые следствия этой модели, рассмотрим процесс глубоконеупругого ep-рассеяния. Обозначим через q_f(x) вероятность обнаружения в адроне кварка аромата f, обладающего долей импульса x . Тогда полное сечение реакции e+p->e+all получается некогерентным суммированием (кварки считаются свободными) взвешенных множителем q_f(x) сечений, процессов e+f->e+f (рис. 13), вычисление которых не представляет трудностей. Отсюда немедленно находим f^ep₂(x,Q²)= f^ep₁(x,Q²) и

f

_ep

2

(x,Q

²

)

=

^Q2->

x

 

^f

Q

₂

^f

q

_f

(x).

(17.11)

Следует заметить, что сумма по индексу f распространяется также на антикварки, так как ожидается, что вероятность обнаружения внутри протона антикварка не равна нулю. Несколько ниже мы перепишем выражение (17.11) в более подробной форме, конкретизируя некоторые свойства различных плотностей распределения кварков q_f(х).

Замечательной особенностью выражения (17.11) является скейлинг. Скейлинг был предсказан Бьеркеном [39] еще до возникновения партонной модели, которая, по существу, была введена для его объяснения. Скейлинг означает, что в пределе Q²-> структурные функции f^a_i(x,Q²) становятся не зависящими от переменной Q² :

f

_a

ⁱ

(x,Q

²

)

->f

_a

ⁱ

(x)

(17.12)

при Q²-> и фиксированном x .

Как будет показано ниже, КХД подтверждает наличие скейлинга в том смысле, что в рамках квантовой хромодинамики предсказывается его существование с точностью до логарифмических поправок (log Q²/²)². Более того, эти поправки можно вычислить, и полученные результаты подтверждаются экспериментальными измерениями нарушения скейлинга.

§18. Операторное разложение

Для строгого анализа произведения операторов, взятых в точках, разделенных малым или светоподобным интервалом, служит метод операторного разложения (operator product expansion — OPE)²⁹⁾. Обсуждение этого метода начнем с простейшего случая хронологического произведения двух свободных безмассовых скалярных полей (x)(y). В пределе x->y это произведение сингулярно. Но сингулярность представляет собой просто c-число. Ее можно выделить из -произведения, записав его в виде

²⁹⁾ Метод операторного разложения был предложен Вильсоном [268], а затем развит для случая малых расстояний в работах [270, 281] и др. Случай операторов, взятых на световом конусе, рассмотрен в работах [51, 128]. Для расчетов процессов глубоконеулругого рассеяния этот метод был применен в работе [70]; использование операторного разложения в КХД обсуждается в статьях [142, 161, 162].

(x)(y)

=

(x-y)1

+

:(x)(y): ,

где 1 — единичный оператор, а — пропагатор скалярного поля

(x)=

1

(2)⁴

d

⁴

k e

^-ik·x

1

k²+i0

=

1

(2)²

·

1

x²+i0

.

В пределе x->y оператор :(x)(y): и, конечно, единичный оператор 1 являются регулярными величинами.

В общем случае произведение локальных (элементарных или составных) операторов A и B, взятых в точках x и y , разделенных малым интервалом, можно записать в виде вильсоновского разложения

TA(x)B(y)=

 

^t

C

_t

(x-y)N

_t

(x,y)

 

,

(18.1)

где вильсоновские коэффициенты C_t в общем случае представляют собой сингулярные c-числовые функции разности x-y, a N_t(x,у) - билокальные операторы, регулярные в пределе x->y. Последние обозначены буквой N, чтобы подчеркнуть, что они являются составными нормально упорядоченными операторами. Разложение вида (18.1) является не чем иным, так обобщением разложения в случае свободных полей. Запишем T-произведение двух операторов А(х) и B(х) в виде

TA(x)B(y)=

iⁿ

n!

d

z

₁

…

d

z

_n

TA

⁰

(x)B

⁰

(y)L

₀

^int

(z

₁

)…L

(z

_n

) .