Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Начнем с рассмотрения свободных полей. Используя теорему Вика, T-произведение двух векторных токов можно записать в виде

TV

^a

(x)V

^a

(y)

=

T:

q

ⁱ

(x)

_a

^ik

q

_k

(x):

:

q

_j

(y)

_b

^jl

q

_l

(y):

 

=

^z2->0

2n_cab(gz²-2zz)

⁴(z²-i0)⁴

·1

+

(if

_abc

+d

_abc

)

S

(x-y)

:

q

(x)

^c

q

(y):

+

(-if

_abc

+d

_abc

)

S

(y-x)

:

q

(y)

^c

q

(x):

+

… ,

(18.9)

где z=x-y, n_c — число цветов (равное 3), а многоточие обозначает четырехкварковые операторы : :qqqq:. Как объяснялось выше, в случае разложения на световом конусе такие операторы дают поправки к основным членам. Мы пока ограничимся рассмотрением только основных эффектов. При получении формулы (18.9) использованы соотношение

Tq

(x)

q

(y)=

-:

q

(y)q

(x):

+S

(x-y) ,

и свойства матриц и (приложения А и В). Заменим пропагатор S выражением, определяющим его поведение на световом конусе:

S(z)

 

^z2->0

iz

(2)²(z-i0)²

 ,

которое легко получить из формулы для пропагатора

S(z)=

i

(2)⁴

d

⁴

p e

^-ip·z

p+m

p²-m²+d0

(приложение Е). После некоторых вычислений с -матрицами (приложение А) формулу (18.9) можно привести к виду

TV

^a

(x)V

^b

(y)

 

=

^z2->0

2i

(if

_abc

+d

_abc

)

x

S

z

(2)²(z²-i0)²

:

q

(x)

^c

q(y):

+

i

z

(2)²(z²-i0)²

:

q

(x)

^c

₅

q(y):

+

(x->y, a->b, ->) + постоянный член

(18.10)

Постоянный член

6_ab(gz²-2zz)

²(z²-i0)⁴

1

не выписан в явном виде, так как он не дает, вклада в коммутатор, фигурирующий в выражении для адронного тензора W (в других случаях, например при вычислении TV^aV^b₀ , этот член может оказаться лидирующим). Полагая затем y=0 и разлагая регулярные операторы :q…q: в ряды по степеням переменной z, получаем следующее разложение хронологического произведения TV_a(z)V_b(0) на световом конусе:

TV

^a

(z)V

^b

(0)

 

=

^z2->0

-i

 

^{n нечетн}

d

_abc

S

z

²(z²-i0)²

·

z₁…z_n

n!

x

:

q

(0)

^c

D

^₁

…D

^_n

q(0):

+

-i

 

^{n нечетн}

f

_abc

z

²(z²-i0)²

·

z₁…z_n

n!

x

:

q

(0)

^c

₅

D

^₁

…D

^_n

q(0):

+ постоянный член + градиентные члены

+ нечетные по перестановкам (->, a->b) члены

(18.11)

Выражение (18.11) приведено к такому виду, что все фигурирующие в нем производные действуют на функции, стоящие справа от них. Чтобы добиться этого, в случае необходимости добавлены градиентные члены. Нечетные относительно перестановок (-> , a->b) члены явно не выписаны. При подстановке их в выражение для W все они обращаются в нуль, так как мы рассматриваем диагональные матричные элементы p|TJJ|p^29б).

^29б) Для процессов, в расчетах которых фигурируют недиагональные матричные элементы, необходимо учитывать градиентные члены. Пример такой ситуации приведен в§ 27, п. 3.

В выражении (18.11) полезно произвести некоторую перегруппировку членов. Мы не будем рассматривать здесь общий случай, а просто продемонстрируем этот метод на примере произведения двух электромагнитных токов. В этом случае (18.8) и (18.11) приводят к следующему выражению (здесь опущены градиентные, постоянные и нечетные по перестановке -> члены, а также индекс em):

TJ

(z)J

(0)

 

=

^z2->0

i

 

^{n нечетн}

S

-z

²(z²-i0)²

·

z₁…z_n

n!

x

:

q

(0)Q

₂

^e

D

^₁

…D

^_n

q(0): ,

где Q_e — оператор электрического заряда, действующий в пространстве ароматов:

Q

_e

=

2/3

0

-1/3

0

-1/3

=

1

2

³

+

1

3

⁸

.

Далее разобьем это выражение на два члена, один из которых пропорционален тензору g (в дальнейшем он будет отождествлен со структурной функцией f₁, а другой не зависит от него (он приводят к функции f₂). Это легко сделать, используя явный вид тензоров S. После некоторых переобозначений индексов получаем

TJ

(z)J

(0)

 

=

^z2->0

i

g

1

²(z²-i0)²

 

^{n четн}

z

₁

…z

_n

1

(n-1)!

x

:

q

(0)Q

₂

^e

^₁

D

^₂

…D

^₂

q(0):

+

-1

2²(z²-i0)

 

^{n четн}

z

₁

…z

_n

1

n!

x

[:

q

(0)Q

₂

^e

D

D

^₁

…D

^_n

q(0):+(->)]

(18.12)

где (во втором члене в правой части) использовано равенство z/(z^2-i0)^2=- 1/2 (z^2-0)^-1, при помощи которого действие производной переносится на переменную z₁. Наконец, разобьем тензор Q²_e на компоненту, пропорциональную единичной матрице (являющуюся синглетом по отношению к преобразованиям группы аромата SU_F(3)), и компоненту, пропорциональную оператору Q_e и, следовательно, несинглетную по отношению к преобразованиям группы аромата:

Q

₂

^e =c_eNSQ_e+c_eF=

1

6 ³+

1

63 ⁸+

2

9 ;

c_eNS=1/3, c_eF=2/9.

(18.13)

Окончательно получаем выражение для хронологического произведения двух электромагнитных токов в виде

TJ

(z)J

(0)

=

-g

i

^2(z^2-i0)^2

 

^{n четн}

z

₁

…z

_n

i^n-1

n-1

x

1

6

N

_(e)1…n

^NS,3

(0)+

1

63

N

_(e)1…n

^NS,8

(0)+

2

9

N

_(e)1…n

^F

(0)

+

i

2^2(z^2-i0)

 

^{n четн}

z

₁

…z

_n

i

^n-1

x

1

6

N

_(e)1…n

^NS,3

(0)+

1

63

N

_(e)1…n

^NS,8

(0)

+

2

9

N

_(e)1…n

^F

(0)+(->)

(18.14 а)

где введены обозначения

N

_(e)1…n

^NS,a

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

^ff'

q

(0)

^₁

D

^₂

…D

^_n

_a

^ff'

q

_f'

(0):,

N

_(e)1…n

^F

=

i^n-1

(n-2)!

:

 

^f

q

(0)

^₁

D

^₂

…D

^_n

q

_f

(0):,

a

=

1,…,8.

(18.14 б)

В завершение этого параграфа мы выведем вновь явление скейлинга, используя операторное разложение на световом конусе в случае свободных полей (партонную модель), а именно, выражения (18.12) и (18.14). Рассмотрим тензор _em (ср. с (17.18))

^em

(p,q)

_Bj

=

 

(2)^3

-g

^2

d

⁴

z e

^iq·z

 

^{n четн}

iz₁…iz_n

(z^2-i0)^2(n-1)

x

_1…n

ⁿ

(p)-

d

⁴

z e

^iq·z

 

ⁿ

iz₁…iz_n

z^2-i0

x

[

₁…_n

ⁿ

(p)+(->)]

,

(18.15 а)