Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Небольшие усложнения возникают из-за интерференции сильных и электромагнитных взаимодействий. Поскольку поляризационный оператор вычисляется во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия e, необходимо учитывать перенормировку электрического заряда, описываемую двумя диаграммами рис. 10, б. Простейшее решение этого вопроса заключается в рассмотрении тесно связанной с наблюдаемыми характеристиками процесса мнимой части поляризационного оператора Im, для которой подобных усложнений не возникает.

Электромагнитные токи являются сохраняющимися, поэтому их аномальные размерности равны нулю. Если из выражения для поляризационного оператора выделить тензорную структуру -qq²+qq :

(q)=(-g

q

²

+q

q

)(q),

(15.4 б)

то в соответствии с общими положениями теории для мнимой части поляризационного оператора можно написать соотношение

Im

_R

(q;m,g;)=Im

_R

(n;

m

(Q

²

),

g

(Q

²

);),

Q

²

=-q

²

=s, n

²

=1 .

(15.5)

Таким образом, надо вычислить лишь величину Im_R(q;m,g;) и произвести в ней замены q=, m->m(Q²), q->q(Q²). В нулевом порядке теории возмущений возникает диаграмма рис. 10, в, из которой, пренебрегая массами кварков, приводящими к поправкам порядка m²/s , получаем

Im

₍₀₎

^R

=

1

12

3

_nf

^f=1

Q

₂

^f

.

(15.6)

Формула (15.6) подтверждает результат старой партонной модели [58, 120], в которой кварки считались свободными. Поэтому принято рассматривать отношение сечения аннигиляции в адроны _h к сечению процесса е⁺е^-->^+-, вычисленному в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию:

R(s)=

 

^h (s)

₍₀₎

^е+е-->+- (s)

.

(15.7)

В нулевом порядке теории возмущений это отношение равно

R

₍₀₎

 

(s)=3

_nf

^f=1

Q

2

f

.

(15.8)

Поправки следующего порядка представлены диаграммами рис. 10, г. С точностью до замены фотона глюоном и учета теоретико-группового множителя _a,kt^a_ikt^a_kj=C_Fij эти диаграммы аналогичны соответствующим диаграммам квантовой электродинамики, вычисленным много лет назад в работе [180]. Воспользовавшись этим результатом, получаем [18, 278]

R

⁽¹⁾

(s)=3

_nf

^f=1

Q

₂

^f

1+

_s(Q²)

(15.9)

Поправки второго порядка вычислены в работах [67, 95]. В перенормировочной схеме MS во втором порядке теории возмущений

R

⁽²⁾

(s)

=

3

_nf

^f=1

Q

₂

^f

1+

_s(Q²)

+r

₂

_s(Q²)

²

 

,

r

₂

=

[

2

3

(3)-

11

12

]

n

_f

+

365

24

-11(3)2.0-0.12n

_f

(15.10)

Здесь — дзета-функция Римана, а для константы сильных взаимодействий _s следует использовать выражение второго порядка теории возмущений.

Необходимо рассмотреть еще вопрос о том, сколько ароматов кварков следует учитывать. Этот вопрос тесно связан с проблемой кварковых масс. Если масса кварка m_q удовлетворяет условию s>>m²_q , то возникают поправки типа O(m²_q/s). В пределе s-> они пренебрежимо малы по сравнению с поправками любого порядка по параметру _s . Совершенно иная ситуация возникает, когда m²_q>>s и передаваемой энергии недостаточно для рождения дополнительных кварк-антикварковых пар. Этот вопрос будет подробно рассмотрен несколько ниже; здесь же мы примем эвристический рецепт, состоящий в том, что суммы по ароматам кварков следует распространять на ароматы только тех кварков, массы которых удовлетворяют условию m²_qэтом порог рождения нового аромата 4m²_qs , в окрестности которого могут возникать сложные эффекты, рассматриваться не будет. Можно показать, что в этой области теория возмущений КХД непосредственно не применима.

Рис. 11. Зависимость величины R от s. Штриховой линией показано (ведущее) предсказание КХД для R [265].

С учетом этих замечаний теоретические предсказания хорошо согласуются с экспериментальными данными, как видно на рис. 11, где приведены результаты первой экспериментальной проверки КХД²⁵. Однако из-за больших систематических ошибок экспериментальных данных при такой проверке трудно выйти за рамки ведущего порядка теории возмущений КХД.

²⁵ Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.

§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе ) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории и m_e можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.