Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Здесь индекс 0 означает, что соответствующие величины строятся из свободных полевых функций. Применяя к этому выражению теорему Вика, приходим к разложению (18.1). Но необходимость записи приведенного выражения в общем виде возникает довольно редко. Если нас интересует поведение произведения операторов в пределе x->y, то можно прибегнуть к более простому способу. А именно достаточно рассмотреть базис, образованный всеми операторами, обладающими теми же квантовыми числами и трансформационными свойствами, что и исходное произведение AB (в частности, если операторы A и B скалярные и калибровочно-инвариантные, то при построении базиса дрлжны быть рассмотрены только скалярные и калибровочноинвариантные операторы). В этом случае имеем операторы

1,

:

q

(x)q(y):,

:

q

(x)

D

q(y):,…,

:(

q

(x)q(y))

²

:,…,

:G(x)G(y):,…

(18.2)

т.е. бесконечную последовательность операторов. Но в пределе x->y требуются только некоторые из них (иногда для выяснения лидирующего поведения достаточно одного). Это можно показать следующим образом. Пусть размерность оператора N равна p_N; тогда среди операторов (18.2) низшей размерностью обладают операторы

1(p

₁

=0),

:

q

q:(p

_qq

=3),

:

q

D

q:(p

_qDq

=4),

и

:G

²

:(p

_G²

=4).

Если предположить, что размерность каждого из операторов A и B равна 3, то простой подсчет размерностей позволяет заключить, что размерность вильсоновского коэффициента C₁ равна 6, коэффициент C_qq имеет размерность 3, а размерность коэффициентов C_qDq и C_G² равна 2. Следовательно, явно выделяя массу из коэффициента C_qq , получаем

C

₁

(x-y)(x-y)

^-6

,

C

_qq

(x-y)m(x-y)

^-2

,

C

_qDq

(x-y)(x-y)

^-2

,

C

_G²

(x-y)(x-y)

^-2

,

(18.3)

где х⁶ означает (х·х)³, х^-2 означает 1/х² и т.д. Очевидно, что эти соотношения точно выполняются лишь в случае свободных полей. Асимптотическая свобода КХД гарантирует, что поправки к соотношениям (18.3) могут быть только логарифмическими. Эти поправки не вносят существенных изменений во все проводимые рассуждения.

Коэффициенты при других операторах в пределе x->0 оказываются конечными. Если теперь взять какой-нибудь матричный элемент от разложения (18.1):

|TA(x)B(0)|

 

=

^x->0

C

₁

(x)|+

C

_qq

(x)

|:

q

(0)q(0):|

+

C

_qDq

(x)

|:

q

(0)

D

q(0):|

+

C

_G²

(x)

|:G

²

(0):|+…

(18.4)

то из регулярности операторов N_t следует, что в пределе x->0 поведение левой части (18.4) определяется вильсоновскими коэффициентами, умноженными на конечные константы |N_t|. Таким образом, в пределе x->0 лидирующее поведение хронологического произведения операторов TA(x)B(0) определяется коэффициентом C₁(x), а старшие поправки контролируются коэффициентами C_qq, C_qDq и C_G² .

Вернемся к разложению (18.1). Так как операторы N_t(x,y) регулярны, их можно разложить по степеням разности x-y. При у = 0 получаем

N

_t

(x,0)=

 

ⁿ

 

x

₁

…x

_n

N

_(n)1…n

_t

(0,0) .

Например, для полей q(x) и q(x) имеем

:

q

(0)q(-x):=

 

ⁿ

 

x

₁

…x

_n

(-1)ⁿ

n!

:

q

(0)

^₁

…

^_n

q(0):.

(18.5)

В случае калибровочной теории, такой как КХД, обычные производные, фигурирующие в (18.5), следует заменить ковариантными производными^29а). Тогда получаем

^29а) Интуитивно это ясно. Формальное доказательство можно получить, заметив, что оператор q(0)q(-1) не является калибровочно-инвариантным. Калибровочная инвариантность восстанавливается при введении экспоненциального множителя P exp⁰_-1dy_t^aB_a . См. , например, работу [269] и приложение И.

TA(x)B(0)

x->0

C

₁

(x)1+C

_qq

(x)

 

ⁿ

x

₁

…x

_n

(-1)ⁿ

n!

x

:

q

(0)D

^₁

…

D

^_n

q(0):+… .

(18.6)

В пределе x->0 члены, содержащие производные, в (18.6) в общем случае представляют собой малые поправки, так как они содержат дополнительные степени x. Но такое утверждение неверно для разложения на световом конусе. В этом случае нас интересует поведение в пределе x²->0, который отнюдь не означает, что каждая из компонент x->0. Поэтому при разложении на световом конусе все производные в правой части (18.6) дают одинаковые вклады.

Применим теперь операторное разложение к хронологическому произведению адронных токов, появлявшихся в формулах для процессов глубоконеупругого рассеяния. Поведение этих токов на световом конусе определяет в бьеркеновском пределе структурные функции кварков. Прежде чем приступить к расчетам, введем некоторые обозначения. Вначале рассмотрим векторные и аксиальные токи, описанные в § 17. Их можно записать в виде комбинаций из восемнадцати токов:

V

^a

(x)

=

 

^ff'

:

q

_f

(x)

_a

^ff'

q

_f'

(x): ,

A

^a

(x)

=

 

^ff'

:

q

_f

(x)

_a

^ff'

₅

q

_f'

(x): ,

V

⁰

(x)

=

 

^f

:

q

_f

(x)

q

_f

(x): ,

A

⁰

(x)

=

 

^f

:

q

_f

(x)

₅

q

_f

(x): .

(18.7)

Этим токам можно придать единообразный вид, полагая ⁰_ff'=_ff' и считая, что индекс a пробегает значения 0, 1, …, 8. Например, электромагнитный ток кварков записывается в виде

J

^em

=

1

2

V

³

+

1

3

V

⁸

.

(18.8)

Отметим, что матрицы действуют в пространстве ароматов. Мы включаем в рассмотрение кварки трех сортов: q₁=u, q₂=d, q₃=s; учет остальных сортов кварков не представляет трудности. Естественно, во всех формулах подразумевается суммирование по цветовым индексам.