Числа: от арифметики до высшей математики

Теперь давайте снова построим две оси, но вместо того, чтобы проставлять значения против каждого деления, на этот раз проведем через каждое деление новую линию.

Предположим, через каждое деление на вертикальной оси, то есть на оси действительных чисел, мы проводим горизонтальную линию. Проводим линию через деление +1, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +1. Следующую горизонтальную линию проводим через +2, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно +2. Следующую горизонтальную линию проводим через -3, и на всей протяженности этой линии значение действительного числа равно -3. Таких линий можно провести сколь угодно много.

Такую же процедуру можно осуществить и с горизонтальной осью, то есть с осью мнимых чисел. Через каждое деление на горизонтальной оси, то есть на оси мнимых чисел, мы проводим вертикальную линию. Так же, как и в прошлом случае на всей протяженности линии, проведенной через деление +1i, значение мнимого числа равно +1i; на всей протяженности линии, проведенной через деление +2i, значение мнимого числа равно +2i; а на всей протяженности линии, проведенной через деление -5i, значение мнимого числа равно -5i.

Комплексные числа

Теперь мы получили своеобразный шаблон шахматной доски, на котором для каждой линии, соответствующей мнимому числу, существует линия, соответствующая действительному числу, и наоборот, причем эти линии пересекаются.

Теперь мы сможем найти ответ на вопрос, чему равна сумма 1 + i. Число, соответствующее 1 + i, — это точка пересечения линий +1 и +i на нашем шаблоне. Поскольку расстояния между делениями на обеих осях одинаковы, 1 + i представляет собой число в направлении северо- восток. Точно так же и 2 + 2i, 3 + 3i, 4 + + 4i и так далее.

Число, подобное числу 1 - i, можно представить как +1 + (-i), и оно будет на нашем шаблоне представлять собой точку пересечения прямых +1 и -i, то есть в направлении северо-запад. Точно так же -1 + i — это юго-восток, а -1 - i — это юго-запад.

Другие направления можно представить такими числами, как 15 + 2i, -7 - 3i и так далее. По сути дела, каждая точка на нашем шаблоне (который, как вы уже догадались, можно расширять бесконечно) представляет собой какое-то число, которое является суммой действительного и мнимого числа. Более того, положение точки на шаблоне может соответствовать выражению, содержащему десятичную дробь или иррациональное число, например 9,54 + 0,015i, или 2√7 + -5√2i.

Числа, подобные тем, что представлены выше, состоящие из действительной и мнимой частей, называются комплексными. Любое действительное или мнимое число может быть представлено в виде комплексного, то есть 42 = 42 + 0i, a 5i = 0 + 5i.

Комплексные числа представляют интерес не только для инженеров и ученых, они представляют и чисто практический интерес в обыденной жизни, поскольку, в отличие от обычных чисел, указывающих только величину, они указывают также и направление.

Приведем пример, который продемонстрирует вам роль комплексных чисел. Рассмотрим такое физическое понятие, как сила. Сила может представлять собой толкающее усилие или тянущее усилие. Толкающее усилие — это положительная величина, тянущее — отрицательная. Кроме того, сила может изменяться по величине. Таким образом, мы можем использовать для величины силы действительные числа.

Но, кроме того, сила может быть направлена в разных направлениях. И толкающее усилие, и тянущее усилие могут быть направлены вверх, вниз, вбок и так далее. Выразить величину силы с учетом направления можно при помощи комплексных чисел. Таким образом, число i, которое большинству людей, не связанных с математикой, представляется таинственным, но совершенно бесполезным понятием, имеет простое практическое применение. Например, в области электроники никакая математическая обработка данных невозможна без применения комплексных чисел. Величина переменного тока меняется как по величине, так и по направлению, и для ее описания необходимо использовать комплексные числа.

Комплексные числа можно складывать и вычитать по таким же правилам, как обычные числа, причем действительные и мнимые числа складываются и вычитаются отдельно. Например, если к (+2 - 4i) прибавить (-5 + 7i), то получим (-3 + 3i). Если из ( + 2 - 4i) отнять (-5 + 7i), то получим (-7 + 11i). (Это можно продемонстрировать на нашем шаблоне, так как обычное сложение и вычитание можно показать на оси север-юг. Думаю, что теперь вы сможете это сделать самостоятельно.)

Вот при умножении комплексных чисел мы столкнемся с большими трудностями, чем в случае умножения действительных чисел. При умножении 35 на 28, как я вам уже объяснил в третьей главе, мы разбиваем числа на разряды, то есть 35 = = 30 + 5, 28 = 20 + 8. Затем числа перемножаются, каждое слагаемое одной части на каждое слагаемое другой части, а результаты умножения складываются.

Точно так же производят операцию умножения с комплексными числами. Для того чтобы умножить (3 + 5i) на (6 + i), нужно составить такую схему: