Числа: от арифметики до высшей математики

Представим себе, что вокруг нас стоит толпа кричащих детишек, которым мы должны раздать леденцы. Мы не знаем ни сколько детей требует леденцов, ни сколько леденцов у нас в коробке. Но делать нечего, и мы начинаем раздавать леденцы — по одному каждому малышу. Если к тому моменту, когда коробка опустеет, каждый малыш будет сосать вкусный леденец, значит, количество леденцов равнялось количеству детей. Если к тому моменту, когда мы одарим всех малышей леденцами, у нас в коробке еще останутся леденцы, значит, количество леденцов больше количества детей. Если же, напротив, у нас не хватит леденцов на всех, это будет означать, что детей больше, чем леденцов.

Такой метод подсчета, заключающийся в сравнении последовательных рядов (один леденец против одного ребенка, или одно четное число против одного целого числа), поможет выяснить, равны ли два ряда чисел, и если они не равны, то какой ряд больше.

Напишем ряд целых чисел, а под ним ряд четных чисел:

Мы видим, что для каждого целого числа нашлось четное число, причем его можно получить, умножив соответствующее целое число на 2.

Мы видим, что, как бы много чисел мы ни написали, каждому целому числу соответствует определенное четное число и, наоборот, каждому четному числу соответствует определенное целое число (то есть каждому ребенку достается по одному леденцу).

Что же это означает? Можем ли мы утверждать, что количество четных чисел равно количеству целых чисел? Не совсем так. Дело в том, что, когда речь идет о бесконечности, мы не можем сказать, что одна бесконечность равна другой бесконечности. Но мы можем утверждать, что имеется соответствие один в один между последовательностью целых чисел и последовательностью четных чисел, то есть последовательность четных чисел является взаимно однозначной с последовательностью целых чисел. Это означает, что если мы сопоставим последовательность целых чисел с последовательностью четных чисел, то для каждого целого числа найдется свое четное число и наоборот.

Точно так же мы можем сравнить последовательности целых чисел и чисел, кратных миллиону. Для каждого целого числа можно написать соответствующее число, кратное миллиону, которое мы получим умножением данного целого числа на миллион. Для 1 это будет 1 000 000, для 6 это будет 6 000 000, а для 234 — 234 000 000. То есть можно сказать, что каждому целому числу соответствует число, кратное миллиону, или что эти две последовательности соответствуют друг другу «один в один» или являются взаимно однозначными. Любая последовательность чисел, взаимно однозначная с последовательностью целых чисел, называется счетной. Последовательность целых чисел также называется счетной.

Бесконечность в малом

Когда речь заходит о бесконечном, в нашем воображении возникает нечто огромное и вечное, непонятное и, пожалуй, бесполезное.

Однако, даже если мы имеем дело с малыми числами, совершенно неожиданно в нашем поле зрения вновь возникает понятие «бесконечность». Предположим, нам надо разделить 1 на 1/10.Мы помним правило обратных величин и знаем, что разделить число на 1/10 это все равно что умножить его на 10. Таким образом, 1 : 1/10 = 10, 1 : 1/100 = 100, 1 : 1/1000 = 1000.

То есть чем меньше делитель при одном и том же делимом, тем больше частное от деления.

И действительно, если делить единицу или любое другое число на ряд чисел, последовательно убывающих, то есть становящихся все меньше и меньше, мы получим ряд чисел (частных от деления), которые становятся все больше и больше. А когда делитель становится бесконечно малой величиной, то частное от деления превращается в бесконечно большую величину.

Вы можете спросить: что же это такое «бесконечно малая величина»? Конечно, самой малой величиной является ноль. Но малая величина может представлять собой

дробь. Скажем, 1/10 — это малая величина, 1/100 — еще меньше, 1/1000 — еще меньше, а 1/10000 — еще меньше. Не существует предела, до которого можно уменьшать величины. Но как бы вы ни увеличивали количество нулей в знаменателе, вы никогда не достигнете нуля. Таким образом, когда вы делите единицу или какое либо другое число на последовательность бесконечно возрастающих чисел, вы получаете последовательность бесконечно убывающих чисел. Когда делитель становится бесконечно большим числом, частное становится бесконечно малым.

Обратите внимание, что мы не можем делить числа на ноль. Эта операция в математике не рассматривается, и причина очень проста. Скажем, какое частное мы получим от деления 6 на 0? Другими словами, на какое число надо умножить 0, чтобы получить 6? Такого числа нет, значит, операция 6 : 0 невозможна. Любое число, умноженное на ноль, дает ноль. Это означает, что мы не можем ни одно число разделить на ноль.

Промежуток между двумя числами, скажем, между единицей и двойкой, можно разделить на любое количество долей, на миллион, триллион и так далее, бесконечно. То же самое можно проделать и с меньшим интервалом, скажем, с интервалом между ¼ и ½ или между 0,0000001 и 0,00000001.