Числа: от арифметики до высшей математики

Стрелками показано, как перемножаются составные части комплексных чисел. В соответствии со схемой:

3 × 6 = 18, 3 × i = 3i, 5i × 6 = 30i и 5i × i = 5i² = -5, поскольку i² равно -1.

Два из промежуточных результатов являются действительными числами, и их можно сложить, то есть 18 — 5 = 13. Другие две составляющие являются мнимыми числами, и их также можно сложить: 30i + 3i = 33i. Таким образом, результатом умножения является комплексное число 13 + 33i.

Другие арифметические операции также можно продемонстрировать при помощи аналогичной схемы. Таким образом, мы видим, что с комплексными числами можно работать по тем же правилам, что и с обычными числами, а значит, комплексные числа больше не являются для нас таинственными и непостижимыми.

Докапываемся до корней.

Уходим дальше вглубь

Область комплексных чисел дает возможность рассмотреть некоторые сложные случаи при извлечении корней степени больше 2.

Мы с вами уже знаем, что √+1 равен +1 или -1, √-1 равен + i или -i.

А чему равен корень четвертой степени из +1 (⁴√+1)? Очевидно, что (+1) × (+1) × (+1) × ( + 1) = +1, то есть +1 — это один из корней четвертой степени из +1. Точно так же (-1) × (-1) × (-1) × (-1) = +1, то есть +1 — это также один из корней четвертой степени из +1. Но мы еще не перебрали все варианты. Как насчет выражения (+i) × (+i) × (+i) × (+i)? Результат перемножения (-i) × (-i) — это -1. Следовательно, (-i) × (-i) × (-i) × (-i) = (-1) × (-1) = +1. Это означает, что +i — это третий корень четвертой степени из +1. Точно так же мы можем показать, что —i — это четвертый корень четвертой степени из +1.

Следовательно, наша задача имеет следующий ответ: (⁴√1) = +1, -1, +i, -i. Точно так же мы можем показать, что (⁴√-1) равен +√+i, -√+i, +√-i, или -√-i, то есть эта задача имеет четыре равноценных решения.

А что же такое √+i? Ответ прост. (√+i) — это такое число, которое, будучи умножено на себя самое, дает i. Поэтому (+√+i) × (+√+i) = +i Следовательно, (+√+i) × (-√+i) × (+√-i) × (-√-i) = (+ i) × (+ i) = -1.

Следовательно, (+√+i) является одним из корней четвертой степени из (-1), другими корнями являются -√+i, +√-i и -√-i.

Точно таким же образом можно показать, что любое число имеет четыре корня четвертой степени.

Мы показали, что каждое число имеет два квадратных корня и четыре корня четвертой степени. Можно предположить также, что каждое число имеет три корня третьей степени, пять корней пятой степени, шесть корней шестой степени, сорок пять корней сорок пятой степени и так далее. Это утверждение абсолютно верно, но чтобы его доказать, потребуется сложный математический аппарат, которым мы не владеем, поэтому пока примем его на веру.

Правда, мы можем проверить это утверждение для корня третьей степени. Чему, например, равен корень кубический из 1, или (³√+1)? Во первых, (+1) × (+1) × (+1) = +1, то есть +1 является одним из кубических корней из 1.

А чему равны остальные два? Перейдем в область отрицательных чисел.

(-1) × (-1) × (-1) = ( + 1) × (-1) = -1

Таким образом, -1 не является корнем кубическим из 1. Более того, можно показать, что ни одно действительное число, а также ни одно мнимое (будь то -i или -И), возведенное в третью степень, не дает в результате + 1.

Значит, корень всего один, а других двух просто нет?

Эти два корня существуют, но в области комплексных чисел. Я просто приведу их значения, а вы сможете проверить, чему равны эти числа, возведенные в куб. Остальные два корня кубических из + 1 — это (-1/2 + 1/2√3i) и (-1/2 - 1/2√3i). Давайте проверим это утверждение.

Если (-1/2 + 1/2√3i) — один из кубических корней +1, то это значит, что (-1/2 + 1/2√3i)³ или (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) × (-1/2 + 1/2√3i) равно 1. Умножение можно произвести по той методике, которая описана выше.

Два промежуточных мнимых результата можно сложить, сумма чисел (-1/4√3i) и (-1/4√3i) равна (-1/2√3i). Что касается 3/4i², то это действительное число, равное -3/4.Теперь сложим два действительных составляющих этого выражения: 3/4 - 1/4 = -1/2, таким образом, результат умножения -1/2 - 1/2√3i.

Этот результат нужно снова умножить на (-1/2 + 1/2√3i).

Две мнимые составляющие этого выражения (-1/4√3i) и (-1/4√3i) в сумме дают 0, так что ими можно пренебречь. Число 3/4i² является действительным числом, так как i² = -1, то есть 3/4i² = -3/4. Добавим к 3/4оставшийся промежуточный результат 1/4 и получим 1. Итак, (-1/2 + 1/2√3i)³ равно 1.

Точно так же можно возвести в третью степень число (-1/2 - 1/2√3i).

(-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) × (-1/2 - 1/2√3i) = 1.

Точно так же можно показать, что у числа -1 есть три корня третьей степени, два из которых комплексные, по три кубических корня и у чисел i и -i.

И не только i

На нашем «шахматном» шаблоне можно изобразить также третью линию, или ось, так, чтобы помимо направлений север, юг, запад и восток у нас появились направления «внутрь» и «наружу». Таким образом, наша «шахматная доска» из плоской фигуры превращается в объемную фигуру. Теперь точно так же, как в свое время мы получили сетку на плоскости, мы можем составить мозаику из кубиков.