Числа: от арифметики до высшей математики

Чтобы перемножить числа 6837 и 1822, нужно сложить их логарифмы, а затем найти антилогарифм суммы. Таким образом, логарифм произведения этих чисел равен 3,83487 + 3,26055, или 7,09542. Это число можно представить как 0,09542 + 7. Десятичная часть числа, в данном случае 0,09542, называется мантиссой, а целая, в данном случае 7, — характеристикой.

Антилогарифм числа — это просто число 10, возведенное в эту степень. Антилогарифм 0,09542 (определенный по таблице) равен 1,246, а антилогарифм 7 — это 10⁷. При переходе от логарифма к антилогарифму сложение заменяется умножением. Таким образом, антилогарифм равен 1,246 × 10⁷. Или в обычной, неэкспоненциальной форме 12 460 000.

Если вы просто перемножите 6837 на 1822 в столбик, то получите 12 457 014. Однако не следует забывать, что логарифмы — это приближенные величины, так что и результат мы можем получить только с определенным приближением.

Чтобы разделить 6837 на 1822, надо вычесть логарифм второго числа из логарифма первого, или 3,83487 — 3,26055 = 0,57432. Антилогарифм этого числа равен 3,752. Это и есть искомый ответ. Если вы выполните деление в столбик, то получите более точное выражение: 3,75192. Но как мы уже знаем, логарифмы — это приближенные величины.

Возможно, такой метод расчета показался вам громоздким и неэффективным, ведь мало того, что мы получаем приближенный результат, но надо еще искать ответы в двух таблицах. Не проще ли произвести умножение в столбик? Однако при инженерных и научных расчетах часто достаточно той точности, которую дает метод логарифмов. В то же время часто приходится проводить многократные операции деления и умножения, и метод логарифмов оказывается просто незаменим. Предположим, надо решить такой пример: (194,768 × 0,045 × 19,2²) : (1,558 × 35,4).

Вам понадобится довольно много времени, чтобы провести все необходимые операции деления и умножения, а используя метод логарифмов, если вы хорошо освоили правила работы с логарифмическими таблицами, можно решить этот пример очень быстро. Нужно будет несколько раз заглянуть в таблицы и провести несколько операций сложения и вычитания.

Далее, если по условиям вашей задачи вам достаточно получить ответ с определенным приближением — а в инженерных и научных расчетах именно это и требуется, — метод логарифмов дает дополнительное преимущество, поскольку он значительно сокращает время, необходимое для проведения вычислений.

Новые счеты

Ключ к сокращению времени вычислений мы найдем, если обратим внимание на характер логарифмической зависимости. Логарифм 1,0 равен 0,0000, логарифм 2,0 равен 0,3010, а логарифм 3,0 равен 0,4771. При увеличении числа от 1 до 2 величина логарифма увеличивается на 0,3010; при увеличении числа от 2 до 3 величина логарифма увеличивается на 0,1761. Логарифм 4,0 равен 0,6020, что означает увеличение на 0,1249. При увеличении числа от 9,0 до 10 логарифм увеличивается с 0,9542 до 1,0000, то есть только на 0,0458. При переходе от 19 к 20 логарифм увеличивается с 1,2788 до 1,3010, то есть только на 0,0222.

Теперь нанесем на один край линейки значения логарифмов, расположив их равномерно, а на другой край — соответствующие этим логарифмам числа (антилогарифмы).

Подвижная логарифмическая шкала

Мы видим, что обычные числа располагаются все более часто с увеличением числа. Это отражает тот факт, что с увеличением числа скорость увеличения логарифма снижается.

Шкала, на которой числа расположены не равномерно, а соответственно величинам их логарифмов, называется логарифмической шкалой. Эта логарифмическая шкала стала основой для изобретения одного очень полезного инструмента для вычислений — логарифмической линейки, которая еще совсем недавно была необходима каждому инженеру, до тех пор, пока на смену ей не пришли калькуляторы и компьютеры.

Линейка устроена следующим образом. Если две обычные линейки, на которые нанесены логарифмические шкалы, двигать друг относительно друга, можно проводить операции сложения и вычитания, а поскольку шкалы на линейках логарифмические, это означает, что мы складываем или вычитаем логарифмы чисел, то есть перемножаем или делим сами числа.

Например, нам надо перемножить 2 и 3. Как показано на рисунке, устанавливаем подвижную часть линейки так, чтобы деление 1 на ней совпало с делением 3 на неподвижной части. Затем переводим взгляд на деление 2 на подвижной части и смотрим, против какого деления на неподвижной части оно установилось. Мы видим, что это 6. То есть логарифм 3 + логарифм 2 = логарифму 6, а 3 × 2 = 6.

На следующем рисунке показан эскиз настоящей логарифмической линейки с несколькими шкалами. Такая линейка позволяет быстро решать разнообразные задачи и производить сложные расчеты, точность которых зависит от размера делений шкал. Фактически такая линейка представляет собой компактную таблицу логарифмов.