Читаем Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов полностью

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Вычислим теперь действие, соответствующее инстантонному решению. Используя соотношение ^a^a и формулы, приведенные в приложении Б, получаем результат

⁴

48^2

g^2

⁴

(|x|^2+^2)⁴

8^2

g^2

(44.13)

В § 45 показано, что туннелирование из состояния |n_± в состояние |n_±+, где - целое число, осуществляется через инстантонные решения. В этом смысле они доказывают существование нетривиальной структуры вакуума КХД которое обсуждалось в § 38. Может показаться странной необходимость подробного обсуждения этой проблемы, поскольку точные решения уже найдены. Ответ на этот вопрос состоит в требовании конечности действия, при котором такие решения искались. Как обсуждалось в § 40, наблюдаемая амплитуда туннельного перехода между двумя состояниями |a и |b определяется формулой

a|b

_phys

=a|e

^-A

|b/b|e

^-A

(44.14)

так что даже полевые конфигурации, приводящие к бесконечному значению действия (при условии что бесконечности в числителе и в знаменателе (44.14) взаимно сокращаются), могут давать конечное значение амплитуды туннельного перехода. Можно накладывать требование конечности действия, но оно не является строго обязательным. В действительности, как будет показано в § 45, инстантоны приводят к целочисленным значениям параметра , тогда как, согласно работе [82], обсуждавшейся в § 38, при некоторых значениях масс кварков параметр оказывается нецелочисленным⁵⁴⁾. Важность инстантонных решений состоит в том, что они обеспечивают явные эффекты туннелирования и дают возможность оценить их. Но, по-видимому, инстантоны не исчерпывают всех возможных непертурбативных решений в квантовой хромодинамике. Помня об этих оговорках, продолжим изучение инстантонных решений и требования конечности действия.

⁵⁴⁾"Полуинстантоны" с конечным эвклидовым действием и полуцелым топологическим зарядом, по-видимому, недавно теоретически получены в работе [127].

§ 45. Связь инстантонных решений с вакуумом КХД и топологическим квантовым числом

Рассмотрим величину (см. выражение (38.3))

g^2

32^2

⁴

(45.1)

Как обсуждалось выше, глюонные поля, стремящиеся на бесконечности к нулю, имеют вид

^x->

_-1

(x)

(x),

(45.2)

где T_B - произвольная матрица из группы SU(3). Рассмотрим переменную x, лежащую на поверхности четырехмерной сферы S₄. Калибровочное поле ставит в соответствие каждой пространственно-временной точке x величину T_B(x) из калибровочной группы. Таким образом, мы имеем отображение поверхности S₄ в группу SU(3). Можно сказать, что две полевые конфигурации гомотопны, и выполняется соотношение BB', если они могут быть переведены одна в другую непрерывным преобразованием. Очевидно, что это соотношение является соотношением эквивалентности; таким образом, все калибровочные поля можно разбить на гомотопические классы. Число гомотопических классов бесконечно, но счетно⁵⁵⁾, так что поля можно нумеровать целым числом n в соответствии с номером гомотопического класса, к которому они принадлежат. Наша очередная задача состоит в том, чтобы показать, что число n совпадает с величиной Q_K определяемой выражением (45.1). Величина Q_K называется квантовым числом Понтрягина, или топологическим (спиральным) квантовым числом. Название в скобках связано с кратностью отображения четырехмерной сферы на группу.

⁵⁵⁾ Эго справедливо для любой простой калибровочной группы, содержащей в себе подгруппу SU(2).

Чтобы убедиться в этом, отметим прежде всего, что, как можно проверить прямыми вычислениями, выражение (45.1) инвариантно относительно непрерывных калибровочных преобразований. Далее заметим, что подынтегральное выражение в (45.1) в действительности представляет собой 4-дивергенцию. В самом деле, как показано в § 38,

g^2

32^2

(45.3)

где K — "киральный ток":

g^2

16^2

(

_abc

(45.4)

Используя теорему Гаусса, находим

g^2

32^2

⁴

_S4

где d - элемент поверхности четырехмерной сферы S₄. Используя формулу (45.4), получаем выражение

g^3

48^2

_abc

_S4

₄

Вычисления упрощаются, если принять, что B_a=0 для всех значений a, кроме a=1,2,3. Это оказывается возможным благодаря тому, что гомотопические соотношения зависят только от подгруппы SU(2). В этом случае можно принять

и представление (45.2) остается справедливым, если входящая в него матрица T принадлежит группе SU(2). Тогда получаем следующее выражение для величины Q_K:

12^2

_S4

^-1

(45.5)

Предположим, что мы параметризовали элементы группы SU(2) тремя углами Эйлера _i ; тогда инвариантную по группе меру можно записать в виде

d=Tr

^-1

₁

^-1

₂

^-1

₃