Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^50б)Бопее подробно о -вакууме и вопросах, обсуждаемых в этом параграфе, можно прочитать в § 43 — 45, где становятся ясными причины возникновения некоторых довольно специфических терминов.

Q

_K

=

g^2

32^2

d

⁴

x G

G.

(38.3)

Используя формулу (37,8) и теорему Гаусса, запишем его в виде интеграла по поверхности

Q

_K

=

d

K

.

Рис. 29. Область интегрирования при вычислении оператора топологического заряда.

В качестве поверхности интегрирования выберем цилиндр с осью, расположенной вдоль оси времени, и основаниями, лежащими при t₊->+ и t_-->- (рис. 29). Устремив размеры цилиндра к бесконечности, получим

Q

_K

=

d

x

K

⁰

(t

₊

->+,

x)

-

d

x

K

⁰

(t

_-

->-,

x)

K

₊

-K

_-

.

(38.4)

Операторы K_± являются самосопряженными, переходящими друг в друга при обращении времени; поэтому их спектры совпадают. Обозначим их собственные векторы через |n_±|n, t_±->±; они удовлетворяют уравнению

K

_±

|n

_±

=n|n

_±

.

(38.5)

В силу эрмитовости операторов K_± физический вакуум можно разложить по собственным векторам этих операторов. Такое разложение имеет вид

|=

c

_n

|n

₊

=

c

_n

|n

_-

;

(38.6)

коэффициенты c_n в первом и во втором равенстве одни и те же. Действительно, вакуум инвариантен по отношению к временным трансляциям; поэтому его можно рассматривать при t=0. Тогда, применяя оператор обращения времени U(T), мы получаем, что коэффициенты c_n в (38.6) одинаковы в обеих суммах. Теперь необходимо определить значения этих коэффициентов. Для этого применим оператор i/ к функции Грина (вспомним формализм, развитый в § 2) и получим

i

|T

N

_j

(x

_j

)|

=

i

0|

N

₀

^j

(x

_j

)

i

d

⁴

x{L

₀

^int

(x)+L

₀

¹

(x)}

|0

=

g^2

32^2

d

⁴

x

0|TG

⁰

(x)G

⁰

(x)

N

₀

^j

(x

_j

)

i

d

⁴

x

{L

₀

^int

(x)+L

₀

¹

(x)}

 

|0

=

g^2

32^2

d

⁴

x

|TG

(x)G(x)

N

 

^j

(x

_j

)

|.

(38.7)

Другими словами, оператор i/ эквивалентен введению в формулу оператора топологического заряда Q_K. С учетом хронологического порядка операторов и формул (38.3) и (38.4) выражение (38.7) принимает вид

i

|TN

_j

(x

_j

)|

=

|K

₊

TN

_j

(x

_j

)|

-

|TN

_j

(x

_j

)K

_-

|.

Разлагая его в ряд по собственйым векторам операторов K_± получаем уравнение^50в)

^50в) Более строгий вывод можно найти в работе [81]; в § 45 приведено альтернативное рассмотрение.

i

 

^n,m

c

_*

ⁿ

c

_m

=

 

^n,m

(n-m)c

_*

ⁿ

c

_m

,

решения которого имеют вид

c

_n

=Ce

ⁱⁿ

.

(38.8)

Произвольная константа C может быть выбрана равной единице.

Следствием формулы (38.8) является ортогональность вакуумов, соответствующих разным значениям параметра :

|'=(-'),

(38.9)

так что с точностью до периода каждому значению отвечает свой, отличный от других физический мир.

До сих пор мы не учитывали существования фермионов. Теперь мы покажем, как изменяется проведенный выше анализ при введении в рассмотрение n фермионов с исчезающе малой массой. Начнем с того, что напишем снова знакомое нам тождество Уорда (37.12):

|T^A

⁰

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|

=-

 

^l

_l

(x-x

_l

)

|T

 

^j

N

_j

(x

_j

)|,

которое мы проинтегрируем по d⁴x:

d

⁴

x

|T^A

⁰

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|

-

_l

|T

 

^j

N

_j

(x

_j

)|.

Используя формулы (37.6) и (37.8), получим выражение

d

⁴

x

|T

 

^f

q

_f

(x)

₅

q

_f

(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|

=

2n

d

⁴

x

|TG

(x)G(x)

 

^j

N

_j

(x

_j

)|

-

_l

|T

 

^j

N

_j

(x

_j

)|.

(38.10)

Здесь следует сделать два замечания. Очевидно, что справедливо равенство

d

⁴

x

|T

^f

q

_f

(x)

₅

q

_f

(x)

N

_j

(x

_j

)|

=-

 

lim

^q->0

iq

d

⁴

x

e

^iq·x

|T

 

^f

q

_f

(x)

⁵

q

_f

(x)

N

_j

(x

_j

)|.

Но если не существует U(1)-бозонов, то это вакуумное среднее не имеет полюса в точке q² = 0, поэтому результат обращается в нуль. Далее, как было показано выше, введение в формулу оператора топологического заряда Q_K эквивалентно применению оператора дифференцирования i/. Таким образом, выражение (38.10) принимает вид

2ni

i

|T

N

_j

(x

_j

)|

=

_l

|T

N

_j

(x

_j

)|.

(38.11)

Для случая безмассовых кварков вакуум инвариантен относительно киральных вращений:

|=U

|, U

=e

^-iQ₀

;

(38.12)

с другой стороны, используя формулу (37.106), получаем

i

i

U

_-1

N

_j

U

=

_l

U

_-1

N

_j

U

;

(38.13)

поэтому правую часть уравнения (38.11) можно переписать в виде

i

i

|T

 

^j

N

_j

(x

_j

)|.

Таким образом, видно, что под действием оператора

2ni

-i

все функции Грина обращаются в нуль. Это означает, что изменение значения параметра может быть скомпенсировано изменением фазы . Следовательно, теория -вакуума эквивалентна теории с =0, а последняя, очевидно, обладает инвариантностью относительно киральных преобразований. Таким образом, в частном случае безмассовых кварков⁵¹⁾ параметр можно выбрать равным нулю; тогда используемое нами выражение (38.1) для лагранжиана квантовой хромодинамики представляет собой в действительности выражение наиболее общего вида.

⁵¹⁾ Бопее детальный анализ показывает, что достаточно, чтобы безмассовым был хотя бы один кварк. Этот результат впервые получен в работе [217].

Можно предположить, что кварки приобретают массу в результате слабых взаимодействий посредством механизма Хиггса, и следует допустить, что в "чистой" квантовой хромодинамике кварки безмассовы. Но нас интересует реальный физический мир, и, таким образом, нельзя избежать (по крайней мере в первом порядке теории возмущений) эффектов, обусловленных слабыми взаимодействиями и нарушающих исходные чисто квантовохромодинамические уравнения^51а).