Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

⁴⁹⁾ Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D/=4, получим Tr ₅ = (6-D) Tr ₅, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr ₅ = -Tr ₅ = (D-2) Tr ₅, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре -матрицы.

a

=-2

d

^D

p

Tr

₅

1

p

1

p

1

p

1

p

-

1

p

1

p

1

p

1

p

.

Выполняя симметричное интегрирование (приложение Б) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D/=4, получим однозначный результат

a

=

8(D-1)(4-D)

D(D+2)

·

i

16^2

·

2

4-D

·

Tr

₅

+

O(4-D)

 

->

^D->4

-1

2^2

.

В этом заключается одна из особенностей аномалии: значение конечного фейнмановского интеграла зависит от способа регуляризации. К счастью, этой проблемы можно избежать, если использовать теорему Велтмана — Сатерленда, из которой можно заключить, что во всяком случае существует единственное значение величины a^49а) , совместимое с калибровочной инвариантностью, а именно

^49а) В действительности ситуация еще сложнее; по-видимому, знамения поправок высших порядков к тензору a меняются при переходе от одной регупяризацонной процедуры к другой, даже еспи обе они сохраняют калибровочную инвариантность. Обсуждение этого вопроса и дальнейшие ссылки заинтересованный читатель может найти в работе: Jones D.R., Leveille J.P. , The Two Loop Axial Anomaly in N = 1 Supersymmetric Yang — Mills Theory. Univ. of Michigan preprint UM. He. 81-67, 1981 (не опубликовано).

a

^ijl

=a

=-

1

2^2

k

₁

k

₂

.

(33.20)

Мы проверили, что выбранная нами регуляризация приводит именно к этому значению; проверку того, что при такой регуляризации сохраняется свойство калибровочной инвариантности, оставляем читателю в качестве простого упражнения.

Прежде чем продолжать, необходимо сказать несколько слов о теореме Велтмана - Сатерленда для безмассовых кварков. В этом случае первый член в правой части (33.18а) отсутствует; кажется, что теперь нельзя сохранить прежний результат для тензора a (выражение (33.20)), так как это приводит к неравенству

q

R

=-

1

2^2

k

₁

k

₂

/=0,

противоречащему выводу из теоремы Велтмана - Сатерленда qR=0. Но это не так: соотношение qR=a и значение тензора a по-прежнему справедливы. Причина состоит в том, что в случае m=0 функции _i в (33.7) имеют сингулярности вида 1/k₁·k₂ . Следовательно, теорема Велтмана - Сатерленда в этом случае неприменима. Это еще одна особенность треугольной аномалии: lim_m->0qR=0, но если с самого начала предположить частицы безмассовыми, т.е. m=0, то

q

R

^m0

=a

/=0,

Вернемся к нашему обсуждению, в частности рассмотрим случай m/=0. Настоящий метод демонстрирует, как можно доказать, что данный результат не перенормируется. Теорема Велтмана - Сатерленда представляет собой точное утверждение; как уже было показано, ее достаточно для того, чтобы доказать, что выражение (33.20) при учете поправок высших порядков не изменяется. Рассмотрим теперь типичный вклад высшего порядка, которому соответствует диаграмма рис. 25, в. Его можно записать в виде интегралов по импульсам кварка и глюона. Но в этом случае вместо треугольника в диаграмме фигурирует семиугольник (рис. 25, г), для которого интеграл по кварковым переменным сходится, и, следовательно, можно непосредственно перейти к пределу D->4; при этом интеграл тождественно обращается в нуль. Кроме того, приведенные выше доводы показывают, что аномалия связана фактически с поведением фигурирующих в теории величин в ультрафиолетовом пределе, поэтому ожидается, что точность выражения (33.13) не будет нарушена непертурбативными эффектами.

Мы не рассматриваем здесь детального доказательства этого утверждения, а отсылаем читателя к литературе^49а). Но мы приведем альтернативный вывод [268], из которого виден ультрафиолетовый характер треугольной аномалии. Аксиальный ток представляет собой произведение двух полевых функций, взятых в одной и той же пространственно-временной точке; поэтому его можно определить в виде

^49а) Подробное обсуждение этого вопроса см. в обзорах [8, 107]. Треугольная диаграмма является единственной диаграммой, обладающей простыми аномалиями; но она приводит к вторичным аномалиям в квадратных и пятиугольных графиках. Триаксиальный треугольный график содержит аномалию, тесно связанную с аномалией аксиапьно-векторного графика.

A

^q

(x)

=

 

lim

^->0

A

^gn

(x,),

A

^gn

(x,)

q

x+

2

₅

q

x-

2

.

(33.21)

Однако в случае /=0 эти выражения не обладают свойством калибровочной инвариантности. Для восстановления калибровочной инвариантности необходимо заменить выражения (33,21) (см. приложение И) выражением

A

^gi

(x,)

q

x+

2

₅

exp

ie

^x+/2

 

_x-/2

dy

A

(y)

q

x-

2

.

Дивергенция имеет вид

A

^gi

(x,)

=

 

lim

^->0

{2im

_q

q

(x)+igA

^gi

(x,)

F

+O(^2)}.