Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В случае свободных полей q=im_qq ; следовательно, они приводят к поправкам порядка m^2_q/Q^2, которыми мы сейчас пренебрегаем. Но члены

p|N

_1…n

^NS

(0)|p=g

^_ij

…g

^_lm

p

^_k'n-m

(p^2)

^m

A

'

_n

^NS

,

как мы вскоре убедимся, дают поправки ~m^2_N/Q^2. Раньше мы пренебрегали и этими поправками; сейчас же мы сосредоточим на них внимание. Рассмотрим оператор N^₁…_n ; ниже будет проведена замена индексов n->n+2 и _n+1-> , _n+2->. Благодаря симметрии по индексам оператора N его матричные элементы можно записать в следующем общем виде ( n — четное число):

ip|

_1…n

^NS

(0)|p

=

_n/2

^j=0

(-1)

^j

(n-j)!

2^jn!

x

 

^{по перестановкам}

g

^_i1i'1

…

g

^_iji'j

(p^2)

^j

x

 

^{по перестановкам}

p

^_k1

…

p

^_kn-2j

A

_(TMC)n-2

^NS,j

,

N

_1…n

^NS

=

S

q

^₁

D

^₂…D_n

q

 

_NS

(25.1)

(индекс TMC означает, что учтена поправка на массу мишени). Так как выполняется равенство g^_ig^_jp|N_NS1…n|p=0, мы получаем набор соотношений, разрешив которые можно выразить величины Aⁿ_j через Aⁿ₀ . Тогда

T

_(TMC)

^2NS

(x,Q^2)

=

1

2

 

ⁿ

x

^-n-1

^j=0

p^2

Q^2

^j

(n+j+2)!(n+2j)!

j!n!(n+2j+2)!

x

A

_(0)n+2j

^NS

C

_n+2j

^NS

,

A

_(0)n

^NS

A

_(TMC)n

^NS,j

.

(25.2)

Окончательный результат имеет вид

_(TMC)

^NS

(x,Q^2)

=

^j=0

m

^2

^N

Q

^2

 

^j

(n+j)!

j!(n-2)!

C

_n+2j

^NS

(n+2j)

 

  (n+2j-1)

A

_(0)n+2j

^NS

,

(25.3 а)

_(TMC)

^NS

(x,Q^2)

=

¹

 

₀

dx x

^n-2

f

_(TMC)

^2

(x,Q^2) .

(23.5 б)

Функцию f₂ удобно определить как предел структурной функции f^(TMC)₂ при m^2_N->0, а момент задать в виде

_NS

(n,Q^2)

=

¹

 

₀

dx x

^n-2

f

₂

(x,Q^2) .

(25.4)

Полученные в § 24 уравнения применимы как раз к этим величинам и f₂ . Чтобы вычислить моменты с учетом поправок на массу мишени, используем выражение (25.3а) и получим

_(TMC)

^NS

(n,Q^2)

=

^j=0

m

^2

^N

Q

^2

 

^j

(n+j)!

j!(n-2)!

x

1

(n+2j)(n+2j-1)

_NS

(n,Q^2);

(25.5)

однако вычислять моменты нет необходимости. После несложных выкладок можно найти, что выражение (25.5) эквивалентно следующему выражению (-скейлингу):

f

_(TMC)

²

(n,Q^2)

=

x

^2

 

/

^2

 

(1+4x^2m

^2

^N /Q^2)^3/2

f

₂

(,Q^2)

+

6m

^2

^N

Q

^2

 

·

x

^3

 

(1+4x^2m

^2

^N /Q^2)^2

¹

 

d'

'^2

f

₂

(',Q^2)

+

12m

₄

^N

Q

₄

 

·

x

₄

 

(1+4x^2m

^2

^N /Q^2)^5/2

¹

 

d'

x

¹

 

d''

''^2

f

₂

('',Q^2),

(25.6)

где — так называемая переменная Нахтмана:

=

2x

1+(1+4x^2m

^2

_N /Q^2) ^1/2

(25.7)

Следует отметить некоторые особенности полученных формул. Во-первых, при малых значениях переменных x, поскольку поправки на массу мишени ведут себя как x^2m^2_N/Q^2, ими можно полностью пренебречь. Эти поправки важны только при больших (но не слишком больших) значениях переменной x . В самом деле, если эти формулы применить к случаю x->1, то возникают неустойчивости. Это происходит по двум причинам. Во-первых, вклад операторов высших твистов (которые рассматриваются ниже) возрастает в пределе x->1. Хотя и ожидается, что обусловленные этими операторами поправки имеют вид 3M^2/Q^2 , где M, т.е. на половину порядка величины меньше, чем поправки на массу мишени, но могут происходить (и, вероятно, происходят) разного рода сокращения^40а). Во-вторых, как было показано в § 23, в пределе x->1 теория возмущений неприменима.

^40а) Обсуждение этого вопроса можно найти в работах [90,91]

Поэтому более последовательным, по-видимому, было бы разложить 25.6) в ряд по степеням величины m^2_N/Q^2 и сохранить только ведущий член. Выражение для поправок на массу мишени в этом случае упрощается и принимает вид

f

^TMC

(x,Q^2)

=

f(x,Q^2)

+

x

^2

^N

Q

^2

 

6x

¹

 

_x

dy

f(y,Q^2)

y^2

-x

x

f(x,Q^2)-4f(x,Q^2)

.

(25.8)

При этом КХД становится неприменимой, когда поправки второго порядка

~

x^3(

_s

)n

₂

^N

(1-x)Q

₂

 

^2

велики. Другими словами, мы принимаем эту величину в качестве параметра, характеризующего допустимую ошибку вычислений: трудно утверждать, что следует учитывать поправки порядка m⁴_N/Q⁴ и в то же время пренебрегать поправками порядка M^2/Q^2.

§ 26. Непертурбативные эффекты в e⁺e^--аннигиляции и операторы высших твистов в процессах глубоконеупругого рассеяния

Мы рассматриваем оба эти эффекта в одном параграфе потому, что, с нашей точки зрения, они связаны друг с другом. Начнем с обсуждения непертурбативных (нетеоретиковозмущенческих) эффектов. Как уже обсуждалось в § 15, для этого необходимо рассмотреть величину , входящую в выражение (15.4)

Рассмотрим хронологическое произведение

TJ

(x)J

(0)

с точки зрения операторного разложения. При малых x для него можно записать разложение по операторному базису, которое в импульсном пространстве с учетом обозначения Q^2=-q^2 имеет вид

i

dx e

^iq·x

TJ

(x)J

(0)

=

(-g

q^2+q

q

)

x

C

₀

Q^2/^2,g

·1+

 

^f

C

_f

Q^2/^2,g

m

_f

:

q

_f

(0)q

_f

(0):

+

C

_G

Q^2/^2,g

_s

:

G

^a

(0)G

_a

:+…

.

(21.6)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C₀1. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты C_f и C_G ведут себя следующим образом:

C

_f

(constant)

Q⁴

, C

_G

(constant)

Q⁴

.

(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

:

q

q:

₀

=0

,

:G^2:

₀

=0 ,

(26.3)