Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(_s(_s)+1)

x

^_F(_s)

(1-x)

^_s(_s)

,

(24.2 б)

f

_V

²

(x;Q^2)

=

B

_0F

d₊(1+_s)-D_FF(1+_s)

D_FV(1+_s)

[

_s

(Q^2)]

^-d₊(1+_s)

x

(x

^-_s

-x

^_V(_s)

)+

2

5

A

_0S

[

_s

(Q^2)]

^-d₀

x

^-(_s)

(_NS+1)

(_S(_s)+2)

x

(1-x)^_S(_s)+1

1+|log(1-x)|

,

(24.2 в)

где

_i

(

_s

)=

_0i

-

16

33-2n_f

log

_s

(Q^2) , i=S,NS ,

(24.2 г)

а параметр связан с траекторией Редже соотношением 1-(0)0.5; величину можно выразить через другие константы, используя для этого правила сумм, изложенные в § 23. Таким образом, мы получили набор простых выражений, параметризующих три структурные функции: f^NS₂ , f^F₂ , f^V₂ , исходя из семи параметров: _0NS , _0S , A_0S , A_0NS , B_0NS , B_0F , _s (кроме параметра обрезания ). Их следует выбрать так, чтобы вопроизвести экспериментальные результаты. На самом деле, даже не увеличивая числа параметров, можно вычислить и продольную структурную функцию f_L . Поэтому тот факт, что удается добиться согласия с экспериментальными данными, является важной проверкой КХД⁴⁰⁾. Сравнение экспериментальных данных с теоретическими параметризациями представлено на рис. 19 а.

⁴⁰⁾ В частности, потому, что при этом можно утверждать, что значения параметров _0NS0S2-2.5, 0_S1 согласуются с ожидаемыми.

Рис. 19а. Согласование структурной функции f₂(x,Q^2) с экспериментальными данными по p-рассеянию [ 20] и величины s_l/s₁ с данными работ [16, 43]. Использованы параметризации (24.2), вкпючающие поправки второго порядка. Параметр обрезания равен 100 МэВ. То же значение параметра получено прямым вычислением в работе [20]. (Графики из неопубпикованной работы В. Escoubes, М.J. Herrero, С. Lopez, F.J. Yndurain.)

Обратимся теперь к методу точного восстановления структурных функций. Рассмотрим несинглетный случай и выполним замену переменной log x=-. Тогда уравнения эволюции можно записать в виде

_NS

(n,Q^2)

=

 

₀

d e

^-(n-1)

f

_NS

(e

,Q^2),

_NS

(n,Q^2)

=

_s

(Q

₂

⁰

)

_s(Q

₂

  )

^d(n)

_NS

(n,Q

₂

⁰

),

(24.3)

и использовать известную теорему о свертках для преобразований Лапласа, чтобы обратить (24.3) и получить формулу

f

_NS

(n,Q^2)

=

¹

 

_x

dy b(x,y;Q^2,Q

₂

⁰

)f

_NS

(y,Q^2),

где ядро уравнения b можно выразить через параметры и C^N. В ведущем порядке теории возмущений результат имеет вид [156]

b=b

⁽⁰⁾

(x,y;Q^2,Q)

₂

⁰

)=

^j=0

G

_j

(r)b

₀

(x,y;r+j),

r=

16

3₀

log

_s

(Q

₂

⁰

)

_s(Q

₂

  )

,

где

G

₀

(r)=1, G

₁

(r)=-

r

2

, G

₂

(r)=r

3r+14

24

, …,

Во втором, порядке теории возмущений получаем [150]

b=b

⁰

+

_s

(Q

₂

 

)-

_s

(Q

₂

⁰

)

4

b

⁽¹⁾

,

где

b

⁽¹⁾

(x,y;Q^2,Q

₂

⁰

)=

₂

^p=0

^j=0

a

_pj

(r)b

_p

(x,y;r+j),

b

₁

=

(r+j)-log log

y

x

b

₀

,

b

₂

=

(r+j)-log log

y

x

^2

-'(r+j)

b

₀

.

Наконец, коэффициенты a можно выразить через величины G:

a

_ij

=

_j

^l=0

H

_pl

G

_j-l

(r);

таблицу значений H можно найти в работе [150].

Рис. 19 б. Согласование теоретических значений с экспериментальными данными по -рассеянию [87] с учетом поправок второго порядка теории возмущений КХД. Значение параметра снижается с 400 ± 250 до 180 ± 130 МэВ при использовании заново проанализированных данных (см. Н. Abramowicz el al. CERN print EP/8l-168, 1981; будет опубликовано в Zs. Phys. С ).

Распространение на синглетный случай оказывается нетривиальным [149]. Степень согласия теоретических и экспериментальных результатов определяется единственным затравочным параметром f(x,Q^2₀), задаваемым при некотором фиксированном значении Q^2₀ (лежащем, как правило, в интервале 2-3 ГэВ²). Результат представлен на рис. 19 б.

Другой метод состоит в прямом использовании уравнений эволюции Алтарелли—Паризи. С ним можно ознакомиться в работе [4].

§ 25. Поправки на массу мишени

Рассмотрим момент от несинглетной части структурной функции f. В принципе _NS зависит не только от параметров n и a_s, но и от различных масс: массы мишени m_N, масс кварков m_q и, наконец, от непертурбативных масс, которыми пока будем пренебрегать. Массы кварков и мишени приводят к поправкам O(m^2_q/Q^2) и O(m^2_N/Q^2) соответственно. Как будет показано в § 32, массы кварков u, d и s малы; наибольшую массу имеет s-кварк: m_s0,3 ГэВ. С найденными значениями параметра обрезания теория возмущений КХД едва ли будет иметь смысл при передачах импульса Q^2 1,5 ГэВ^2; таким образом, даже на нижнем пределе поправки за счет массы s-кварка не будут превышать 5%. Тяжелые кварки приводят к поправкам иного порядка, так как их массы заметно больше: m_c1,5 ГэВ, а m_b5 ГэВ; но мы пока поправками за счет тяжелых кварков будем пренебрегать. Поправки, обусловленные массой мишени, порядка m^2_N/Q^2, т.е. велики. В этом параграфе будет показано, каким образом можно учесть такие поправки.

Влияние поправок, обусловленных массой мишени, было оценено в работе [202]; это рассмотрение приводит к так называемому -скейлингу. В своем изложении мы будем следовать методу, предложенному в статье [143]. Вспомним разложения (19.3) и (19.11). В общем случае они содержат члены еще двух типов; это члены, соответствующие операторам

g

q

D

^₁

…q и g

q

^2

^₁

D

^₂

…q.