Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе x->1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка получаем [150]

f

^NS

(x,Q^2)

 

^x->1

A

_0NS

[

_s

(Q

²

)]

^-d₀

e^{a(_s)_s(Q^2)}

[1+_1NS(_s)]

x

(1-x)

^{_1NS(_s)+2_s[log(1-x)]/3}

(23.13)

Здесь коэффициенты _NS и a имеют вид

_1NS

(

_s

)

=

_NS

(

_s

)-(

_NS

(

_s

)+1)

4_s(Q^2)

3

-a

₁

_s

(Q^2),

a(

_s

)

=

a

₀

+a

₁

(

_NS

(

_s

+1)

+

2

3

{[(

_NS

(

_s

)+1)]^2-'(

_NS

(

_s

)+1)},

a

₀

1.18, a

₁

0.66 .

Интересно отметить, что благодаря члену

(1-x)

^{2_s[log(1-x)]/3}

(23.14)

поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x->1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс ^*+N->all, обусловленный реакцией ^*+N->N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :

1-x 1, но

2_s

3

|log(1-x)| 1.

(23.15)

Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x->1 (или n->) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (_slog n)ⁿ [15, 71]. С точностью до замены A_0NS->A_0S, _1NS->_1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).

Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x0. При изучении поведения структурных функций в пределе x->0 квадрату 4-импульса Q^2 необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ->. В этих условиях имеет место предел Редже³⁹⁾  и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q^2, то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:

³⁹⁾ Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].

f(x,Q^2)

 

^x->0

b(Q^2)

^_R(0)

, x=

Q^2

2

,

(23.16)

где R- соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x->1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.

Перепишем (23.16) в более удобном виде

f

_NS

(x,Q^2)

 

^x->0

B

_NS

(Q^2)x

,

(23.17 а)

f

_i

(x,Q^2)

 

^x->0

B

_i

(Q^2)x

, i=F,V .

(23.17 б)

В принципе можно допустить зависимость параметров от Q^2, но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M^2/Q^2).

Поведение структурных функций f в пределе x->0 связано с сингулярностями моментов (n,Q^2)^39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для (n,Q^2) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде (n,Q^2)=AⁿCⁿ соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин Aⁿ или Cⁿ в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины Aⁿ расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cⁿ. Кроме того, если n₀ — такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам

^39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x->0, отличные от реджевских.

n

₀

=1-

(NS)

n

₀

1+

_s

(singlet),

и с необходимостью выполняется соотношение _F=_Vs.

Так как сингулярности коэффициентных функций Cⁿ совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры и _s удовлетворяют неравенствам

1,

_s

0.

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

[

_s

(Q^2)]

^D(n)

(n,Q^2)

не зависит от значения Q^2. Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

S

-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

(n)=

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

.

(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+_s+, находим

(1+

_s

+)=

B(Q^2)

(23.19)

Таким образом, величина

[

_s

(Q^2)]

^D(1+_s+)

B(Q^2)

b

не зависит от квадрата 4-импульса Q^2. Применяя матрицу S(1+_s+) и полагая ->0, получаем

B

(Q^2)=

S

(1+

_s

)

_-d+(1+s)

^s

0

0

_-d-(1+s)

^s

b.