Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В случае безмассовых кварков и глюонов выражения (22.8) оказываются расходящимися, и их следует регуляризовать. Для этого можно использовать размерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: p^2_f=-^2. Благодаря компактности области интегрирования при этом может возникнуть только логарифмически расходящийся член, который, как будет показано ниже, имеет вид log (Q^2/p^2_f). На самом деле, только этот логарифмический член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.

Прежде всего в выражениях (22.8) всюду, за исключением знаменателя, можно положить p^2_f=0; поправки будут иметь величину O(^2/Q^2). Таким образом, получаем

-g

+

ku+ku

k·u

Tr(

p

_f

-

k

)

(

p

_f

-

k

+

q

)

(

p

_f

-

k

)

p

_f

=

-2(p

_f

-k)^2

Tr

(

p

_f

-

k

+

q

)

k

+Tr

(

p

_f

-

k

+

q

)

x

[(p·u)(

p

_f

-

k

)+(p

_f

-k)·u

p

+2k·

p

_f

u

]

1

u·k

.

Так как p^2_f=k^2=0, выполняется равенство 2kp_f=-(p_f-k)^2. Следовательно, последний член в полученном уравнении пропорционален (p_f-k)⁴ и не дает вклада в логарифмический член. Используя обозначения ^log₌ , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравнения равны, получаем

_log

=

 

-2

dk

2k⁰

₊

[(p

_f

-k+q)^2]

1

(p_f-k)^2

x

Tr{

(

p

_f

-

k

+

q

)

k

+

(

p

_f

-

k

+

q

)

x

[(

p

_f

-

k

)(p

_f

·u/k·u)+

p

_f

[(p

_f

-k)·/k·u]]} .

(22.9)

Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде

(p

_f

-k)^2=--2k

⁰

p

₀

^f

2k

³

p

₃

^f

cos

Он обращается в нуль только при условии cos =1, т.е. в случае коллинеарности векторов k и p_f . (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos =1, так что, в частности, -функция в выражении (22.9) принимает вид

[(p

_f

-k+q)^2]

=(2-Q^2-2Qk

⁰

=

2

1-x-

Qk⁰

Удобно ввести обозначение

1-

Qk⁰

,

(22.10)

и записать -функцию в виде.

[(p

_f

-k+q)^2]

=

1

2

(-x) .

Кроме того, мы видим, что в случае cos =1 выполнено условие

k

_=0,

=

(1-)p

_f

Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):

_log

=

 

-2

⁺¹

 

_-1

dcos

 

₀

dk⁰·k⁰

2

·

1

(-x)

1+²

1-

x

Tr(p_f+q)p_f

 

 

2k⁰p

₀

^f cos-(^2+2k⁰p

₀

^f )

_log

=

 

log

Q^2

^2

2

d

1+^2

1-

Tr{

(

p

_f

+

q

)

p

_f

}(x-) .

Таким образом, для структурной функции f₂ получаем следуюший результат (обозначения очевидны):

w

₂

=4C

_F

g^2

16^2

d

1+^2

1-

(x-)log

Q^2

^2

(22.11)

Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при =1. Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается радиационными поправками к вершине и пропагатору, которые мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, вклад таких поправок в выражение для w₂ должен быть аналогичен (22.11) с точностью до замены (1+^2)/(1-) на (-1). Суммируя все члены, получаем

w

₂

=

C₂(F)_glog Q^2/^2

d (x-)

1+^2

1-

+(1-)

.

(22.12)

Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид^36в)

^36в) В выражениях (22.1За), (22.136) уже учтено правильное значение параметра .

q

_f

(x,t)

=

¹

 

₀

dy

¹

 

₀

dz (zy-1)q

_f

(y,t)

(z-1)+

_gt

4

P

₍₀₎

^NS

(z)

,

P

₍₀₎

^NS

=

C

_F

3(1-z)-2

1+z^2

(1-z)₊

,

(22.13 а)

где для любой функции введено определение

¹

 

₀

dz

1

(1-z)₊

¹

 

₀

dz

(z)-(1)

1-z

(22.13 б)

Заметим, что если эти коэффициенты P⁽⁰⁾_NS идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно проверить, что они действительно удовлетворяют уравнению (22.4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент при (-1); он непосредственно фиксируется условием ⁽⁰⁾_NS=1 (или условием det ⁽⁰⁾(2)=0 для синглетного случая).

Теперь можно сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке - ^2 и заменить переменную t дифференциалом dt, чтобы записать выражения (22.13) в инфинитезимальном виде.

Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.

Но существует и более интересный метод. Предположим, что может быть действительно испущено произвольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением только ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, получив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что использование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе _g: ⁿ_g logⁿ(Q^2/^2). Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сошлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.

Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].