Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Метод Алтарелли — Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм "плотностей распределения кварков" q(x,Q^2), описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения последующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций некоторых наиболее важных процессов. Обозначим через I изоскалярную мишень, а через p - протонную мишень. Тогда имеем

f

_F

^2ep

=

2

9

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

),

 n

_f

=3

5

18

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

+c+

c

),

 n

_f

=4

f

_NS

^2ep

=

1

6

x

2

3

u-

1

3

d-

1

3

s+

2

3

u

-

1

3

d

1

3

s

, n

_f

=3

1

6

x(u-d-s+

u

-

d

-

s

+c+

c

),

 n

_f

=4

(22.14 а)

f

_F

^2eI

=f

_F

^2ep

; f

_NS

^2eI

1

18

x(u+

u

+d+

d

-2s-2

s

), n

_f

=3

1

6

x(c-s+

c

-

s

), n

_f

=4.

(22.14 б)

f

_NS

^2I

=0, f

_2I

=f

_F

^2I

=

9

2

f

_F

^2ep

, n

_f

=3

18

5

f

_F

^2ep

, n

_f

=4.

(22.14 в)

f

_F

^3I

=0, f

_3I

=f

_NS

^3I

=

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

), n

_f

=3

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

+c-

c

), n

_f

=4.

(22.14 г)

Некоторые из этих результатов уже были получены выше. Кроме того, можно ввести понятия распределения "валентных" кварков q_v (определив его как избыток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для протона ¹₀dxu_v=2, ¹₀dxd_v=1 и "моря" остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].

§ 23. Общие свойства структурных функций а КХД

1. Правила сумм

Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов Aⁿ вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответствующие составные операторы оказываются связанными с генераторами той или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q^2-> матричные элементы оператора Aⁿ можно вычислить в модели свободных кварков — партонов³⁸⁾.

³⁸⁾ В общем случае необходимо перейти к пределу Q^1->2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности _NS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q^2) интегралов

¹

 

₀

dx x

^-1

f

_NS

(x,Q^2),

¹

 

₀

dx

f(x,Q^2).

(23.1)

Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций f^NS_2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин

N

_±

^NS

= 1/2 i:

q

(1±

₅

)q:,

которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: ⁽⁰⁾_NS(1)=^(1)-_NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем

iTJ

^em

(z)J

^em

(0)

_NS

^pp;n=1

 

=

^{z^2->0}

1

3

C

₁

^2NS

(z^2)J

_em

(0) ,

или точнее

1

i

A

₁

^2NS

P

=p|J

^em

(0)|p=2(2)

^-3

p

Q

_N

,

где Q_N - заряд мишени в долях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, получаем

¹

 

₀

dx x

^-1

f

_NS

²

(x,Q^2)=

1

3

Q

_N

1+

13+8(3)-^2

33-2n_f

·

_s(Q^2)

3

.

(23.2)

Аналогично в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q^2 :

¹

 

₀

dx x

^-1

{f

_p

²

-f

_p

²

}=2.

(23.3)

Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.

Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции f₂ соответствующие поправки приводят к неравенству ⁽¹⁾⁺_NS/=0. Обсуждение этого вопроса см. в статье [194].

Структурная функция f₃ удовлетворяет правилу сумм Гросса-Лавеллин-Смита [158]

¹

 

₀

dx x

^-1

f

_I

³

(x,Q^2)=3

1+

_s(Q^2)

+O(

₂

^s

)

.

(23.4)

Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).

Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом случае сохраняющиеся операторы отвечают значению n=2. Этот факт находит свое отражение в равенствах det ⁽⁰⁾(2)=det ⁽¹⁾(2)=0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины ⁽¹⁾⁺ и ^(1)- , так как всюду входит только одна из них ^(1)+(1). В самом деле [149],

⁽⁰⁾

(2)

=

1

9

64

-12n

_f

-64

12n

_f

,

(23.5 а)

⁽¹⁾

(2)

=

1

243

65[367-39n

_f

]

-3666n

_f

-64[367-39n

_f