Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток

A

^qq'

(x)=:

q

(x)

₅

q'(x): .

Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям

A

^qq'

(x)=i(m

_q

+m

_q'

)J

₅

^qq'

(x) , J

₅

^qq'

(x)=:

q

(x)

₅

q'(x): ,

(13.1 б)

из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.

Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными ^21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.

^21a) Отметим, что мы работаем в низшем порядке теории возмущений по слабому и электромагнитному взаимодействиям. В противном случае возникает необходимость включения в формулы слабых и электромагнитных перенормировочных множителей Z_F, Z^em_F и т.д.

Несохраняющиеся операторы, как правило, требуют проведения перенормировки. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве простого примера оператор _i:qⁱ(x)qⁱ(x)M(x). Как уже обсуждалось в § 8 и 9, можно работать либо с неперенормированной величиной q_uq_u и проводить вычисления, учитывая контрчлены, либо использовать перенормированную величину Z^-1_Fq_uq_u , проводя подстановки g->g_u=Z_gg для константы связи и m->m_u=Z_mm для массы и пренебрегая контрчленами. Тем не менее, вообще говоря, этого оказывается недостаточно, чтобы величина M была конечной. Для того чтобы получить конечные выражения для матричных элементов оператора M, необходимо умножить его на дополнительный множитель Z_M, называемый перенормировочным множителем оператора:

M

_R

(x)=Z

_M

M(x) .

(13.2)

Чтобы доказать это утверждение, используем формулы § 3. При этом поля, отмеченные верхним или нижним индексом 0, являются свободными, например q₀q⁰_u или B₀B⁰_u. В терминах свободных полей оператор M_R записывается в виде

M

_R

(x)=Z

_M

T:

q

₀

(x)q

₀

(x):

exp i

d

⁴

zL

₀

_int

(z) .

В низшем порядке теории возмущений по константе связи g это выражение принимает вид

M

_R

(x)

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

=

-

g

²

2!

Z

_M

d

⁴

z

₁

d

⁴

z

₂

T

:

q

₀

(x)q

₀

(x):

:

q

₀

(z

₁

)t

^a

q

₀

(z

₁

):

x

q

₀

(z

₂

)t

^b

q

₀

(z

₂

):

B

^0a

(z

₁

)

B

^0b

(z

₂

) .

(13.3)

Поскольку перенормировочный множитель оператора имеет вид Z_M=1+O(g²), множителем Z_M во втором слагаемом правой части (13.3) можно пренебречь. Рассмотрим далее расходящиеся матричные элементы, а именно матричные элементы M_R по кварковым состояниям с равным импульсом p; нетрудно видеть, что характер расходимости в рассматриваемом примере одинаков как для диагональных, так и для недиагональных матричных элементов. Обозначим диагональные матричные элементы операторов M и M_R соответственно через M_p и M_Rp. Тогда в калибровке Ферми-Фейнмана после простых вычислений из выражения (13.3) для этих матричных элементов получим

M

_R

_p

=

Z

 

^M

Z

_-1

^F

M

₀

_p

+

iM

₀

_p

g

²

C

_F

d

^D

k

-

(

p

+

k

)(

p

+

k

)

k

²

(p+k)

⁴

+S

_u

(p)+S

_u

(p)

.

(13.4)

где

M

₀

:

q

₀

q

₀

: .

Рис. 9. Перенормировка оператора qq.

Соответствующие фейнмановские диаграммы приведены на рис. 9. Первое слагаемое правой части (13.4) соответствует диаграмме рис. 9, а , два последних слагаемых - диаграмме рис. 9, б, а интеграл соответствует диаграмме рис. 9, в. Вычисления проведены в приближении безмассовых кварков. Легко убедиться в том, что пренебрежение массой кварков не влияет на характер расходимостей. Очевидно, что расходящаяся часть одного из кварковых пропагаторов S_u в правой части (13.4) точно сокращается с фермионным перенормировочным множителем Z_F; таким образом, остается только расходимость, связанная с интегралом:

-iC

_F

g

²

d

^D

k

(2)

^D

_4-D

⁰

k

²

(p+k)

²

_div

=

 

4g

²

C

_F

16

²

(/2)(4)

^/2

⁰

.

Добавляя вклад от расходимости, обусловленной вторым кварковым пропагатором S_u , получаем

Z

_M

=1-

3C

_F

_g

4

2

+log 4-

_E

-log

²

/

₂

⁰

.

(13.5)

Вычисление перенормировочного множителя Z_M проведено в калибровке Ферми-Фейнмана, но нетрудно убедиться, что он является величиной, не зависящей от калибровки.

Если бы мы провели вычисления не для величины qq, а, скажем, для величин qq или q₅q' , то получили бы, что аномальные размерности этих операторов равны нулю. Как уже говорилось, это утверждение является частным случаем общего результата, к доказательству которого мы переходим. Пусть ток J представляет собой квазисохраняющийся оператор, т.е. в пределе, когда массы частиц стремятся к нулю, он удовлетворяет условию J(x)=0. Рассмотрим какое-нибудь хронологическое произведение произвольных полей _i и тока J

J

(x)

₁

(y

₁

)…

_N

(y

_N

) .

Тогда, используя соотношение ₀(x⁰-y⁰) = (x⁰-y⁰), можно получить тождество Уорда

J(x)₁(y₁)…_N(y_N)

=

(

J

(x))

₁

(y

₁

)…

_N

(y

_N

)

+

_N

^k=1

(x

⁰

-y

₀

^k

)

₁

(y

₁

)

…

[J

⁰

(x),

_k

(y

_k

)]

…

_N

(y

_N

) .

(13.6)

Пусть справедливо равенство

(x

⁰

-y

₀

^k

)[J

⁰

(x),

_k

(y

_k

]

=

'

_k

(y)

_k

(x-k

_k

) ;