Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

тогда, если множители Z_J и Z_D представляют собой аномальные размерности тока J и его дивергенции J соответственно, а множители _J и _D являются коэффициентами перед членом -(g²/16²)N в выражениях для Z_J и Z_D, то, применяя к левой и правой частям (13.6) оператор d/d, получаем

_J

J

(x)

₁

(y

₁

)…

_N

(y

_N

)

=

_m

m

m

J

(x)

₁

(y

₁

…

_N

(y

_N

)

+

_D

(

J

(x))

₁

(y

₁

)…

_N

(y

_N

) .

(13.7)

Уравнение (13.7) может выполняться только в том случае, если _J=0, а множители _D и _m удовлетворяют условию

_D

J

=-

_m

m

m

J

.

(13.8)

Уравнение (13.8) можно проверить для частного случая, когда ток J записывается в виде J=qq' . При этом используем полученное выше выражение для дивергенции тока

J = i(m-m')qq,

а также явный вид аномальной размерности _m , которая вычислена в § 14. Или же можно учесть соотношения (9.17) и (11.6), чтобы убедиться в том, что во втором порядке теории возмущений выполняются равенства

m_uD(qq)_uD = m_RZ_m(qq)_uD = M_RZ_M(qq)_uD = M_R(qq)_R ,

с перенормировочным множителем Z_m , равным только что вычисленному множителю Z_M .

§14. Бегущая константа связи и бегущая масса в КХД; асимптотическая свобода

Вернемся к уравнениям (12.6) и (12.7). Чтобы решить уравнение (12.6), предположим, что при некотором значении параметра перенормированная константа связи достаточно мала для того, чтобы фуыкции , , , можно было разложить в ряд по степеням константы связи g :

=

-

₀

g

²

16

²

+

₁

g

²

16

²

²

+

₂

g

²

16

²

³

+…

,

_m

=

₍₀₎

^m

g

²

16

²

+

₍₁₎

^m

g

²

16

²

²

+… ,

=

⁽⁰⁾

g

²

16

²

+

⁽¹⁾

g

²

16

²

²

+… .

(14.1)

Значение коэффициента ₀ можно получить из выражений (9.30) и (12.4):

₀

=

1

3

{11C

_A

-4n

_f

_F

}

=

1

3

(33-2n

_f

) .

(14.2 а)

Используя результат вычислений перенормировочного множителя Z_g во втором [64, 179] и в третьем [241] порядках теории возмущений, для коэффициентов ₁ и ₂ получаем следующие выражения ^21а):

^21а) Значения коэффициентов ₀ и ₁ не зависят от перенормировочной схемы; выражение для коэффициента ₂ выписано для случая схемы MS.

₁

=

34

3

C

₂

^A

-

20

3

C

_A

_F

n

_f

-4C

_F

_F

n

_f

=102-

38

3

n

_f

;

₂

=

2857

54

C

₃

^A

-

1415

27

C

₂

^A

_F

n

_f

+

158

27

C

_A

₂

^F

n

₂

^f

-

205

9

C

_A

C

_F

_F

n

_f

+

44

9

C

_F

₂

^F

n

₂

^f

+2C

₂

^F

_F

n

_f

=

2857

2

-

5033

18

n

_f

+

325

54

n

₂

^f

.

(14.2 6)

Вычислим эффективную константу g в низшем порядке теории возмущений. Введем стандартное обозначение _S=g²/4. Уравнение (12.6а) в низшем порядке теории возмущений имеет вид

d

g

d

log

=

-

₀

g

³

16

²

,

и при ²=Q²/² приводит к следующему результату для эффективной константы связи:

_s(Q²)

 

_g

d

_s

_s

²

=

-

₀

2

_{(1/2)log Q²/²}

 

⁰

d

log ' ,

_s

(Q

²

)=

_g

1+

_g

₀

(log Q

²

/

²

)/4

.

(14.3)

Последнее выражение удобно записать через инвариантный параметр , выбирая его таким образом, чтобы оно приняло вид

_s

(Q

²

)=

 

4

 

₀

log Q

²

/

²

;

²

=

²

e

^-4/_0g

.

(14.4 а)

Подставляя выражение для коэффициента ₀ , получаем следующую формулу, описывающую зависимость константы связи _s от переданного 4-импульса Q:

_s

(Q

²

)=

 

12

 

(33-2n

_f

)log Q

²

/

²

(14.4 б)

Если учесть члены второго порядка малости по константе связи _g в разложении для ренормгрупповой ( -функции (член ~ (g²/16²)² в ( 14.1)), то для бегущей константы связи получим

₍₂₎

^s

(Q

²

)

=

12

(33-2n

_f

)log Q

²

/

²

1-3

153-19n

_f

(33-2n

_f

)

²

·

log log Q

²

/

²

1/2 log Q

²

/

²

.

(14.4 в)

Мы видим, что _s⁽²⁾(Q²)/_s(Q²)->1 и оба выражения (14.46) и (14.4в) логарифмически стремятся к нулю в пределе (Q²)->²²⁾. В этом и состоит проявление замечательного свойства квантовой хромодинамики — явления асимптотической свободы, которое впервые обсуждалось в работах Гросса и Вильчека [160] и Политцера [218]. С учетом выражения (12.7) оно означает, что при больших пространственноподобных импульсах p_i~q, q²=-Q² квантовая хромодинамика представляет собой свободную квантовополевую теорию с точностью до логарифмических поправок. Более того, в пределе (Q²)-> константа связи ->0. Следовательно, эти поправки можно вычислить в виде ряда теории возмущений по малой константе связи _s.

²²⁾ При условии, что число ароматов n_f=16. Это ограничение достаточно слабое и легко выполнимое. Экспериментально пока обнаружены кварки пяти ароматов. Современная теория предсказывает существование шестого, так называемого t -кварка. (Указания на экспериментальное обнаружение t -кварка получены в анализе адронных струй на pp-коллайдере. — Прим. перев.)

Можно также вычислить бегущую массу. В низшем порядке теории возмущений потребуем выполнения соотношений (12.2), (12.6) и (9.14). Тогда получим

1

m

·

d

m

d

log

=

₍₀₎

^m

g

²

16

²

=

₍₀₎

m

2

₀

log

 

 

.

Используя выражение (14.4а), полагая log Q²/²=2log и вводя константу интегрирования m (которая представляет собой аналог параметра ), получаем выражение для эффективной массы

m

(Q

²

)=

m

( 1/2 log Q

²

/

²

)

^-(0)_m/₀

,

₍₀₎

^m

=-3C

_F

.

(14.5 а)

Подставляя значения коэффициентов ₀ и _m, окончательно имеем

m

(Q

²

)=

m

( 1/2 log Q

²

/

²

)

^d_m

, d

_m

=

12

33-2n

_f

,

(14.5 б)

где коэффициент d_m иногда называют аномальной размерностью массы.