Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Тогда, если ток J является квазисохраняющимся, то справедливо соотношение

[Q

_J

(t),H'(t,

y)]=i

J

(t,

y).

Конечно, заряд Q_J по-прежнему коммутирует с остальными членами гамильтониана H.

§ 11. Ренормализационная группа

Рассмотрим, например, перенормировку кваркового пропагатора. В калибровке Ферми — Фейнмана в рамках -схемы

S

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

^R

(p

²

)

p

-m{1-(4/3)g

²

B

^R

(p

²

)}

 .

(11.1 а)

где

A

^R

(p

²

)=

2

¹

16

²

₀

dx(1-x)

xm

²

+x(1-x)

²

xm

²

-x(1-x)p

²

 ,

B

^R

(p

²

)=

-2

¹

16

²

₀

dx(1+x)log

xm

²

+x(1-x)

²

xm

²

-x(1-x)p

²

 ,

(11.1 б)

В рамках схемы MS выражения для пропагатора S и функций A и B имеют вид

S

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

_R

(p

²

,)

p

-m{1-(4/3)g

²

B

_R

(p

²

,)

 ,

(11.2 а)

A

_R

=

1

16

²

{

-1-2

¹

₀

dx(1-x)log

xm

²

-x(1-x)p

²

²

₀

}

 ;

B

_R

=

1

16

²

{

1+2

¹

₀

dx(1+x)log

xm

²

-x(1-x)p

²

²

₀

}

 .

(11.2 б)

Видно, что перенормировочная процедура вводит в функции Грина зависимость от произвольного параметра размерности массы: это точка нормировки ² в -схеме или шкала масс ² в схеме MS.

Начнем с рассмотрения -схемы перенормировки. Предположим, что точка нормировки изменилась и вместо прежнего значения взято новое значение '. Если использовать лишь выражения (11.16), в которых параметр заменен на ', то выражение для кваркового пропагатора S^(')_R будет отличаться от прежнего. Но мы хотим построить теорию, которая была бы определена однозначно; следовательно, необходимо скомпенсировать изменение кваркового пропагатора. Этого можно добиться, если принять, что масса кварка тоже зависит от точки нормировки .

Поэтому перепишем выражение (11.1а) для пропагатора в виде

S

^R

(p;g,m)=i

1-(4/3)g

²

A

^R

(p

²

)

p

-m{1-(4/3)g

²

B

^R

(p

²

)}

 .

(11.3)

Существование зависимости массы кварка от точки нормировки очевидно из выражения для перенормированного пропагатора S_R, записанного через неперенормированный пропагатор:

S

^R

(p;g,m)

=

Z

_-1

^F

S

_uD

(p;g,m

_uD

);

m

_uD

=

Z

_m

m.

(11.4)

Поэтому для обеспечения независимости кваркового пропагатора от точки нормировки достаточно подходящим образом выбрать зависимости перенормировочных множителей Z_F и Z_m от этой точки. Другими словами, если известно выражение для пропагатора S_R при (p;g,m), то можно вычислить его значение и при (p=';g,m). После этого определим пропагатор S^(')_R, нормированный в точке ',в виде

S

_(')

^R

(',g,m('))=

i

p

-p(')

.

Потребовав равенства выражений для пропагаторов при p=', можно определить функции m=(') и Z_F=(')/Z_F=. В результате, например, получаем следующее выражение для функции m=('):

m(')=m

{

1-

2

3

_g

¹

₀

dx(1+x)log

xm+x(1-x)'

²

xm+x(1-x)

²

}

.

В рамках схемы MS рассуждение оказывается более простым, но вместе с тем и более тонким ^17б). После проведения регуляризации во всех выражениях возникает произвольный параметр ₀, имеющий размерность массы. Если мы хотим получить функции Грина, не зависящие от этого произвольного параметра ₀, то этого можно добиться, отбросив в возникающих выражениях не только (4)^/2(/2), а весь член (4)^/2(/2)₀. Единственный способ достичь этого состоит во введении нового параметра размерности массы, так что теперь перенормировочный множитель Z заменяется на комбинацию Z=(₀/)Z; которая сократится с множителем N₀=2/-_E+log4+log₀. Перенормированные функции Грина будут зависеть от параметра , но не будут уже зависеть от ₀. Предположим, что мы хотим изменить значение параметра , но так, чтобы при этом не возникло физических эффектов. Для этого достаточно ввести зависимость от параметра в константу связи g, массу кварка m и калибровочный параметр (в дополнение к зависимости от перенормировочного множителя Z). Для функции Грина с отсеченными внешними линиями получаем

^17б) Используемая здесь перенормировочная схема MS несколько отличается от стандартной схемы MS, хотя по существу полностью ей эквивалентна.

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g,m,;)

=Z

_{- 1/2}

^₁

…Z

_1/2

^_N

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,

_uD

);

(11.5)

g

_uD

=Z

_g

g,

m

_uD

=Z

_m

m,

_uD

=Z

,

=1-

^-1

(11.6)

Легко видеть, какая требуется зависимость от параметра . Напомним, что параметр ₀ входил во все выражения в комбинации

d

^D

k=

d

^D

k

(2)

^D

_4-D

⁰

,

так что зависимость от ₀ имеется только в расходящихся частях интегралов

(2/)(4)

^/2

(

₂

⁰

)

^/2

.

Следовательно, все перенормировочные множители Z имеют вид

Z

_j

=1+

C

₍₁₎

^j

g

²

16

²

+…,

(11.7 а)

C

₍₁₎

=c

₍₁₎

^j

^j

{

2

-

_E

+log4+log

₂

⁰

₂

 

}

.

(11.7 б)

Коэффициенты перед членом log ² с точностью до знака совпадают с ранее вычисленными коэффициентами c⁽¹⁾_j. В низших порядках теории возмущений легко показать, что в -схеме перенормировки это утверждение справедливо и в отношении коэффициентов перед членом log ².