Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

и соответствующие этим токам сохраняющиеся "заряды", представляющие собой компоненты 4-импульса

P

 

=

d

x

⁰

(x)

 

.

Явное выражение для тензора энергии-импульса в квантовой хромодинамике имеет вид^17a)

^17a) При квантовании теории произведение классических полей следует заменить на нормально упорядоченное произведение. Обсуждение вопроса о неоднозначности определения тензора энергии-импульса см. в работах [60, 74].

Тензор энергии-импульса определяется неоднозначно. В действительности из выражения (10.1) калибровочно-инвариантного выражения для тензора энергии-импульса получить не удается. Выражение же (10.2) возникает при замене обычных производных на ковариантные. Или, иначе, калибровочно-инвариантное выражение для тензора энергии-импульса можно получить из выражения (10.1), производя калибровочные преобразования одновременно с пространственно-временными трансляциями x->x+. Например, если записать преобразование трансляции для глюонного поля B в виде B_a->B_a + (B_a DB_a + G_a), то первое слагаемое в скобках можно устранить калибровочным преобразованием, так что мы получим B_a->B_a + G_a .

=

i

 

^q

q

D

q - g

i

 

^q

q

D

q + g

 

^q

m

_q

q

q

-

g

G

G

+ 1/4 g

^G2

+

члены, фиксирующие калибровку + вклад духов.

(10.2)

Далее, существуют токи и заряды, связанные с вращениями в цветовом пространстве. Вывод формул для сохраняющихся токов, отвечающих глобальной внутренней симметрии лагранжиана КХД, мы оставляем читателю в качестве упражнения. Этот вывод представляет собой частный случай цветовых калибровочных преобразований (с постоянными калибровочными параметрами) и приводит к набору токов, не связанных с взаимодействием кварков и глюонов.

Если массы всех кварков равны нулю, то лагранжиан L инвариантен относительно преобразований вида

q

_f

->

_nf

^f'=1

U

_ff'

q

_f'

,

q

_f

->

_nf

^f'=1

V

_ff'

₅

q

_f'

(10.3)

при условии, что матрицы U и V представляют собой унитарные матрицы размерности n_fxn_f. Отсюда следует, что токи

V

^qq'

(x)=q(x)

q'(x) ,

A

^qq'

(x)=q(x)

₅

q'(x)

(10.4)

сохраняются каждый в отдельности. Если теперь в лагранжиане L учесть массовые члены, то сохраняется только диагональный ток V_qq; остальные токи при этом являются квазисохраняющимися, т.е. их дивергенции пропорциональны массам кварков. Вычисление дивергенций этих токов не представляет большой сложности; поскольку преобразования (10.3) коммутируют с членами лагранжиана L, описывающими взаимодействие кварков и глюонов, вычисления можно проводить в терминах свободных полей. В этом случае использование уравнения Дирака idq=m_qq приводит к следующим выражениям:

V

^qq'

=i(m

_q

-m

_q'

)

q

q' ;

A

^qq'

=i(m

_q

-m

_q'

)

q

₅

q' .

(10.5)

Однако имеется одна тонкость, касающаяся расходимости аксиальных токов. Выражение (10.5) справедливо в случае недиагональных переходов (q/=q'); если же начальный и конечный кварки совпадают (q=q' ), то его следует заменить следующим выражением для дивергенции аксиального тока:

A

^qq

=i(m

_q

+m

_q

)q(x)

₅

q(x)+

 

T

_F

g

²

16

²

G

(x)G

(x).

(10.6)

Это так называемая треугольная аномалия Адлера - Белла - Джакива, которая будет рассмотрена в § 33, 37 и 38.

Также легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для аксиальных A или векторных V токов и полей. Используя преобразования (10.3), для свободных полей получаем

(x

⁰

-y

⁰

)

 

[

V

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-(x-y)

_qq''

q'(x)

 

,

(x

⁰

-y

⁰

)

 

[

A

₀

^qq'

(x),q''(y)]=-(x-y)

_qq''

₅

q'(x)

 

и т.д.

(10.7)

Векторные и аксиальные токи коммутируют с полями глюонов и духов. Одновременные коммутационные соотношения между аксиальными и векторными токами, построенными из свободных полей, проще всего записать, введя матрицы Гелл-Манна , действующие в цветовом пространстве (см. приложение В). Если рассматривать кварки трех ароматов (f= 1,2,3) и определить векторные и аксиальные токи в виде

V

(x)=

 

^ff'

q

_f

(x)

^ff'

q

_f'

(x) ,

A

(x)=

 

^ff'

q

_f

(x)

^ff'

₅

q

_f'

(x) ,

(10.8)

то возникают следующие коммутационные соотношения:

(x

⁰

-y

⁰

)[V

₀

(x),V

(y)]=2i(x-y)f

V

(x) ,

(x

⁰

-y

⁰

)[V

₀

(x),A

(y)]=2i(x-y)f

A

(x) ,

(x

⁰

-y

⁰

)[A

₀

(x),A

(y)]=2i(x-y)f

V

(x) и т.д.

(10.9)

Соотношения (10.7) и (10.9) получены для токов, составленных из свободных кварковых полей. Однако благодаря наличию -функции в правых частях (10.7) и (10.9) они эффективны только для малых расстояний; следовательно, в квантовой хромодинамике из-за свойства асимптотической свободы они остаются справедливыми в таком виде даже при учете взаимодействий между полями кварков и глюонов.

Также, легко вычислить одновременные коммутационные соотношения для сохраняющихся или квазисохраняющихся токов с гамильтонианом (или лагранжианом). Если ток J сохраняется, то соответствующий ему заряд Q_J имеет вид

Q

_J

=

d

xJ

⁰

(t,

x)

 

,

t=x

⁰

 

.

Он является интегралом движения и, следовательно, коммутирует с гамильтонианом:

[Q

_J

(t),H(t,

y)]=0.

Здесь H — гамильтониан (плотность функции Гамильтона системы); он связан с тензором энергии-импульса соотношением H=⁰⁰. Обозначим массовый член, входящий в гамильтониан H, через H':

H'=

 

^q

m

_q

q

q.