Читаем Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов полностью

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^10b При этом ²=0, =-, q=-q, B=-B и т.д. Следует помнить, что поля являются фермионными и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так что справедливо соотношение _b_c=-_c_b.

{

_ab

-gf

_abc

}

q->q - ig

_abc

(6.8)

Используя эти преобразования точно так же, как это делается в случае, квантовой электродинамики, легко получить результат, аналогичный формуле (6.7). Если записать пропагатор в виде суммы продольной и поперечной частей

(q)=

_ab

(-g

_tr

_ab

(6.9)

то для продольной части имеем

= -

-i0

(6.10)

Разложим пропагатор D в ряд по степеням константы взаимодействия g²:

^ab

ⁿ⁼⁰

g^2

_(n)

^ab

Примем во внимание соотношение

₍₂₎

_(0)'

₍₂₎

_(0)'

^ab

^aa'

^a'b'''

^b'b

(поляризационный оператор ⁽²⁾ взят во втором порядке теории возмущений). Из двух последних соотношений получаем следующий результат:

₍₂₎

=0.

^ab

Справедливость этого равенства как раз и проверялась в уравнениях (5.9) и (5.10).

Необходимо отметить, что все проведенные выше выкладки выполнены чисто формальным образом. Так, например, в процессе вычислений мы намеренно закрывали глаза на то, что пропагаторы представляют собой сингулярные функции. Чтобы корректно установить равенства между величинами, необходимо проверить, что к ним можно применять процедуру перенормировок (см. § 7 — 9). В самом деле, некоторые формальные равенства при этом нарушаются; пример такого нарушения приведен в § 33. Однако даже сохраняющиеся при процедуре перенормировок равенства иногда приходится интерпретировать по-новому. Это относится, например, к уравнению (6.10), так как фигурирующий в нем калибровочный параметр заменяется на перенормированный, в результате чего смысл его несколько изменяется.

§ 7. Размерная регуляризация

Как мы видели в примере, приведенном в § 5, некоторые из амплитуд рассеяния оказываются расходящимися. Это происходит из-за сингулярного характера полевых операторов. Легко найти, что расходимость интеграла по dk в (5-46) при больших импульсах k обусловлена тем, что в координатном пространстве в него входят произведения полевых операторов, взятых в одной пространственно-временной точке. Поэтому, чтобы обсуждать квантовую хромодинамику (или любую другую локальную релятивистскую теорию поля), необходимо появляющимся при вычислении фейнмановских диаграмм интегралам придать математически строгий смысл. Эта процедура носит название регуляризации и сводится к замене лагранжиана L регуляризованным лагранжианом L, приводящим при вычислении фейнмановских диаграмм к конечным ответам и в пределе ->0 переходящим в некотором смысле в исходный лагранжиан L, т.е. L->L. Из классических работ Бора и Розенфельда [46, 47] известно, что полевые операторы по своей природе сингулярны, и, следовательно, любая процедура регуляризации с неизбежностью нарушает некоторые физические особенности теории. Например, регуляризация Паули — Вилларса в случае неабелевой теории нарушает свойства эрмитовости и калибровочной инвариантности, решеточная регуляризация нарушает инвариантность по отношению к преобразованиям Пуанкаре и т.д. Конечно, в пределе ->0 эти свойства восстанавливаются (если мы были достаточно осторожны!). Свойства калибровочной и лоренц-инвариантности особенно важны в случае КХД, поэтому в дальнейшем мы будем использовать размерную регуляризацию, нарушающую лишь масштабную инвариантность. Этот метод, подробно развитый в работах т’Хофта и Велтмана [253] (см. также [48]), связан с так называемой аналитической регуляризацией [49, 233]. Он состоит в том, что все вычисления проводят в пространстве размерности D=4-, в конечном же ответе переходят к физическому пределу при ->0. При этом расходимости проявляются в виде полюсов по 1/. Насколько известно автору, математически строгого определения объекта в пространстве произвольной размерности D не существует, кроме случая, когда она равна положительному целому числу. Но этому не следует придавать слишком большого значения; нам необходимы лишь интерполяционные формулы, обладающие свойством калибровочной и пуанкаре-инвариантности и пригодные для вычисления фейнмановских интегралов. Такие интерполяционные формулы можно получить поэтапно. Рассмотрим сначала сходящийся интеграл вида (2)^Dd^Dkf(k²), где функция f, как правило, имеет вид f(k²)=(k²)^r(k²-a²)^-m с целочисленными значениями параметров r и m, а величины d^Dk и k² определяются выражениями d^Dk=dk⁰dk¹…dk^D-1, k²=(k⁰)²-(k¹)²-…-(k^D-1)². Так как функция f аналитична в плоскости комплексного переменного k⁰, контур интегрирования можно повернуть на 90° и перейти от контура (-,+), к контуру (-i,+i), т.е. совершить так называемый виковский поворот. Затем можно восстановить интегрирование по прямой (-,+), определив новую переменную k⁰->k^D=ik⁰. Таким образом, получаем обычный евклидов интеграл в пространстве размерности D