Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Будем рассматривать только расходящуюся и логарифмическую части. Это значительно упрощает вычисления, в результате которых получаем

(q)

^l,ab

=

11C

_A

g

²

_ab

(-q

²

g

+q

q

)

3x16

²

+

{

N

-log(-q

²

)+постоянные члены

}

.

(5.18)

Видно, что это выражение поперечно. При этом нет необходимости вводить духи. Интересно отметить, что пропагатор при условии (5.18) удовлетворяет трансцендентному уравнению

P

(q,u)

{

-q

²

g

+q

q

}

P

(q,u)

 =

P

(q,u)

q

²

q

²

q

²

(5.19)

§ 6. Преобразования Бекши - Роуета - Стора

В предыдущем параграфе было показано, что если в лагранжиане КХД, записанном в лоренцевой калибровке, не учесть вклада духов, то это приводит к нарушению унитарности S-матрицы в пространстве физических состояний. Но в силу калибровочной инвариантности теории свойство унитарности S-матрицы должно выполняться в любой калибровке. Очевидно, что данное нарушение связано с введением фиксирующего калибровку члена, который не обладает свойством калибровочной инвариантности. В таком случае можно задать вопрос: нельзя ли интерпретировать введение духов как способ восстановить нарушенную калибровочную инвариантность лагранжиана? Доказательство справедливости данного утверждения составляет содержание настоящего параграфа.

Начнем с рассмотрения квантовой электродинамики^10a). Лагранжиан, записанный в ковариантной калибровке, имеет вид

^10a В изложении мы следуем работам [221, 222].

L

=

(i

D

 - m) -

1

F

F

-

(

A

)

²

,

4

2

(6.1)

где тензор F и ковариантная производная D определяются формулами

F

=

A

-

A

,

D

=

+ieA

.

Калибровочная инвариантность лагранжиана нарушается членом -(/2)(A)². Однако ее можно восстановить следующим способом. Добавим в лагранжиан (6.1) член вида

L

=- 1/2 (

)

(6.2)

соответствующий свободному безмассовому полю . Обобщим калибровочные преобразования таким образом, чтобы включить поля . Если определить параметры инфинитезимальных преобразований в виде (x)=(x), то поля, входящие в лагранжиан, преобразуются по формулам

(x)->(x)+ie(x)(x),

A->A-(x),

(x)->(x)-A(x).

(6.3)

Тогда С точностью до 4-дивергенции лагранжиан электродинамики, представляющий собой сумму лагранжианов L и L:

L

=L

+L

 

^QED

 

(6.4)

инвариантен при преобразованиях (6.3). Метод восстановления калибровочной инвариантности для рассматриваемого случая довольно прост. Благодаря тому что поля A не заряжены и не взаимодействуют между собой, поля можно выбрать в виде свободных действительных полей. Однако простота лагранжиана L не означает отсутствия глубоких физических следствий его введения. В самом деле, можно показать, что преобразования (6.3) порождают все тождества Уорда квантовой электродинамики, которые, в частности, обусловливают тот факт, что электромагнитное взаимодействие не переводит физические состояния в нефизические. Например, будет показано, как из соотношений (6.3) и (6.4) можно получить условие поперечности фотонного пропагатора. (Конечно, его можно проверить и путем прямого вычисления вакуумной поляризации.)

Рассмотрим величину A(x)(0)₀. Проведя обобщенное калибровочное преобразование, в первом порядке по параметру получаем

A(x)(A(0))₀ = ((x))(0)₀.

Фурье-образ этого выражения имеет вид

d

⁴

xe

^iq·x

A

(x)

A

(0)

⁰

=

iq

d

⁴

xe

^iq·x

A

(x)A

(0)

₀

=iq

D

(q)

=

-1

d

⁴

xe

^iq·x

(

(x))(0)

₀

=

i

q

d

⁴

xe

^iq·x

(x)(0)

₀

=

1

·

q

q

²

+i0

(6.5)

Последнее равенство справедливо в силу того, что поля свободные, и, следовательно, их пропагатор имеет вид пропагатора свободных полей. Таким образом, доказано, что если пропагатор D записать в виде суммы поперечной и продольной составляющих

D

(q)

 =

(-q

²

g

+q

q

)D

_tr

(q

²

)

 +

q

q

D

_L

(q

²

).

q

²

(6.6)

то последняя имеет вид

D

_L

 =

-1

·

i

q

²

+i0

(6.7)

аналогичный продольной части пропагатора свободных полей. Напомним, что пропагатор свободных полей выражается в виде

D

⁰

(q)

 =

i

-g

+(1-

^-1

)q

q

/(q

²

+i0)

.

q

²

+i0

Другими словами, если пропагатор D разложить в ряд по степеням константы взаимодействия

D

(q)

 =

D

⁽⁰⁾

(q)

 +

e

²

D

⁽²⁾

(q)

 + …,

4

то все величины D⁽ⁿ⁾ удовлетворяют условию поперечности:

qD⁽ⁿ⁾(q)=0, n=2,4,…,

которое эквивалентно соотношению (5.10).

Обобщением калибровочных преобразований (6.3) на случай неабелевой теории являются так называемые преобразования Бекши — Роуета — Стора (БРС) [32, 33]. При этом поля духов, как и все другие поля, подвергаются калибровочным преобразованиям, в результате чего (с точностью до 4-дивергенции) полный лагранжиан квантовой хромодинамики (5.11) становится калибровочно-инвариантным. Такие преобразования приводят к тождествам Славнова [232] — Тейлора [244], представляющим собой аналог тождеств Уорда в квантовой электродинамике. Предполагается, что параметр инфинитезимальных преобразований БРС представляет собой не зависящую от пространственно-временной точки x c-числовую величину, антикоммутирующую (коммутирующую) с фермионными (бозонными) полями^10b). Инфинитезимальные преобразования БРС определяются в виде