Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Следует помнить, что присутствие в пространстве состояний, в котором определены поля, нефизических векторов может привести к нарушению соотношения унитарности. Условие (2.7) или (2.8), выражающее унитарность S-матрицы, справедливо только в пространстве физических состояний. Определяя проекторы на физические состояния P соотношениями

P

H

_GB

=

L

 ,

P

²

=P

⁺

=P ,

(5.1)

Условия унитарности (2.7) или (2.8) можно записать во всем пространстве в виде

(PSP)(PSP)

⁺

= P.

(5.2)

Если лагранжиан эрмитов, то S-матрица унитарна в пространстве _GB, поэтому условие (5.2) будет выполнено только в том случае, когда S-матрица коммутирует с оператором P. В описанных в предыдущем параграфе калибровках это соотношение справедливо для квантовой электродинамики и не справедливо для КХД, так как, за исключением случая g = 0, калибровочные преобразования в КХД приводят к самодействию глюонов. Это означает, что лагранжиан

L

=

{i

q

D

q - m

_q

q

q} -

1

(DxB)

²

-

(B)

²

, =1-1/ ,

4

2

 

^q

(5.3)

полученный добавлением к выражению (3.5) члена, фиксирующего калибровку, не полон, и его следует изменить.

Для того чтобы понять, какие члены необходимо еще ввести в лагранжиан (5.3), проследим, как нарушается соотношение (5.2) в частном случае калибровки Ферми - Фейнмана. Рассмотрим процесс рассеяния кварка и антикварка во втором порядке теории возмущений.

Фейнмановские диаграммы, дающие вклад в этот процесс, приведены на рис. 1. Вычисление диаграмм рис. 1, 6 и в несложно; трудности возникают лишь при обработке диаграммы рис. 1, а. Вычислим диаграмму рис. 1, а в пространстве размерности D (см. § 7), а затем перейдем к физическому пределу D->4. Соответствующая амплитуда (см. направления импульсов на рис. 1, а) имеет вид⁶⁾

⁶Диаграмма рис. 1, д, часто называемая глюонным "головастиком", не дает вклада в амплитуду рассеяния, так как в размерной регуляризации d^Dk(k²+i0)^-10 (см § 7).

Рис. 1. Диаграммы qq-рассеяния (а- в), глюонная петпя (г) и глюонный "головастик" (д).

₄

=

-g

²

v

_k

u

_i

t

_a

-ig

^'

_aa'

-ig

^'

u

'

_k'

v'

_i'

t

_a'

(P

_i

-P

_j

),

(2)

²

^tr

q

²

q

²

^tr

(5.4 а)

где

(q)

=

-ig

²

f

^abc

f

^a'bc

d

^D

k

·

1

2

(2)

^D

k

²

(k+q)

²

^aa'

x

{[

-(2k+q)

g

 

+(k-q)

 

g

+(2q+k)

 

q

]

 

_a

_a

_a

x

[

-(2k+q)

g

_a

+(k-q)

g

_a

+(2q+k)

_a

g

]}

.

 

(5.4 б)

Используя соотношение ff=^aa'C_A (см. приложение В) и произведя стандартные выкладки, получаем для тензора _aa' следующее выражение:

=

_aa'

C

_A

g

²

32

²

^aa'

x

{[

19

N

+

1

-

₁

dx(11x

²

-11x+5)log(-x(1-x)q

²

)

]

q

²

g

6

2

⁰

-

[

11

N

 +

2

 -

₁

dx(-10x

²

+10x+2)

3

3

⁰

x

log(-x(1-x)q

²

)

]

q

q

}

;

N

2

 -

_E

 +log 4 ,

  = 4-D -> 0 .

(5.5)

Оно расходится в пределе ->0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im =(1/2)⁺. Но Im получается из выражения (5.4) заменой тензора на его мнимую часть Im , которая, согласно (5.5), имеет вид

Im

(q) =

 

_aa'

C

_A

g

²

 (q

²

)

{

-

19

q

²

g

+

22

q

q

}

,

^aa'

32

²

6

6

(5.6)

и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине

1/2

q

q|

|c,phys.c,phys.|

⁺

|

q

q

,

 

^c,phys.

т.е. квадрату амплитуды процесса qq->BB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im c заменой мнимой части поляризационного оператора Im ^aa(q) на комбинацию

_aa'

C

_A

(k

₁

,k

₂

;

₁

₂

)

^*

(k

₁

,k

₂

;

₁

₂

)

 

^₁,₂

 

^k₁+k₂=2

(5.7 a)

Рис. 2. Мнимая часть величины .

где параметр =± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции имеют вид

=

[(k

 

+q)

 

 g

-(q+k

 

)

 

 g

+(k

 

-k

 

)

 g

 

]

¹

²

²

¹

 

x

(k

 

,

 

)

(k

 

,

 

) .

^p

¹

¹

^p

²

²

(5.7 б)

Здесь _p - вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением

(k,)=

1

 {

₍₁₎

(k) + i

₍₂₎

(k)} ,

^p

2

содержащим тетрады ⁽ⁱ⁾, определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности k_p(k,) = 0, k² = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k₁ + k₂)

=[2k

 

g

-2k

 

+(k

 

-k

 

)

g

 

]

(k

 

,

 

)

(k

 

,

 

).

 

¹

¹

²

¹

 

¹

¹

^p

²

²

Легко убедиться в справедливости равенства q = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует

q

 

(q) /= 0.

^aa'

Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (духи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом L_int. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан L, добавляя в него члены, отвечающие духам, в результате чего полный лагранжиан L_all принимает вид

L

=L

+

(

 

(x))(

 

-gf

 

B

(x))

 

(x) ,

^all

 

^ab

 

^abc

^c

^b

(5.8)

где лагранжиан L определен формулой (5.3). Поля и , обладая нулевым спином, подчиняются статистике Ферми — Дирака^6a). Эти поля не появляются в начальных или конечных состояниях (по предположению они нефизические), поэтому несоответствие их спина и статистики не должно вызывать беспокойства.