Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

и изменения, вызванные добавлением в лагранжиан некоторых дополнительных членов. Можно показать, что в рассматриваемом случае скалярного взаимодействия необходимо еще добавить в лагранжиан член вида ⁴. Но мы пока этим членом пренебрежем. Таким образом, принимая во внимание только (8.4), из формулы (8.1) получаем выражение для так называемого "перенормированного" лагранжиана

L

_R

 

=

Z

_-1

 

i

 

-Z

_-1

Z

 

m

 

 

+Z

_-1

 

 

^u

^u

^m

^u

^u

^u

 

^u

+

Z

 

Z

_-1

Z

_{- 1/2}

g

 

 

 

,

^g

^u

^u

^u

(8.5)

откуда заключаем, что .лагранжиан взаимодействия, определяемый как разность L_int=L-L_free в действительности имеет вид

L

_R0

^int

=

:g

₀

₀

₀

+(Z

_1/2

Z

_-1

Z

_{- 1/2}

-1)g

₀

₀

₀

^u

^u

^u

^g

^u

^u

^u

+

(Z

_-1

-1)

₀

i

₀

-(Z

_-1

Z

 

-1)m

₀

₀

^u

^u

^m

^u

^u

+

(Z

_-1

-1)

 

₀

₀

:,

^u

 

^u

(8.6)

где ⁰_u и ⁰_u - свободные поля, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям. Члены, содержащие множители (Z … — 1), называются контрчленами. Очевидно, что разложение этих членов в ряд по степеням константы связи g должно начинаться с единицы, так как при значении g=0 все перенормировочные множители Z равны единице. Поэтому перенормировочные множители можно представить в виде ряда

 

 

Z

_j

=1+

C

_(n)

(

g

²

)

ⁿ

,

^j

16

²

 

 

ⁿ⁼¹

(8.7)

где коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j имеют конечное разложение в ряд Лорана в окрестности точки =0 (т.е. имеют вид ⁿ_k=0 a⁽ⁿ⁾_k ^-k +O). Существует и другой способ проследить за возникновением контрчленов [45]. Из выражения (8.2) для S-матрицы видно, что вследствие сингулярного характера входящих в него полей хронологическое произведение

L

₀

(x)

₁

… L

₀

(x

_n

)

^int

^int

(8.8 а)

не определено при совпадающих аргументах x_i=x_j. Следовательно, к каждому члену разложения (8.2), имеющему вид (8.8а), можно добавить произвольное слагаемое вида

p(x

₁

-x

₂

) … (x

_i

-x

_j

) … (x

_n-1

-x

_n

) ,

(8.8 б)

где символ p обозначает выражение, полиномиальное по оператору дифференцирования. Отсюда видно, что члены (8.8 6) соответствуют контрчленам.

Насколько произвольны значения коэффициентов Z? Одно из условий, определяющих их величину, состоит в требовании, чтобы лагранжиан L^R приводил к конечным ответам даже в пределе ->0. Но это не полностью фиксирует коэффициенты C⁽ⁿ⁾_j в выражении (8.6 б). Чтобы однозначным образом конкретизировать все перенормировочные множители Z, фигурирующие в теории, необходимо рассмотреть столько независимых амплитуд, сколько параметров должно быть определено.

Вернемся к лагранжиану КХД. Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией поля, и, как мы видели, калибровочная инвариантность представляет собой необходимое условие того, чтобы эта теория имела смысл. Условие калибровочной инвариантности накладывает жесткие ограничения на допустимую структуру контрчленов: они должны быть калибровочно-инвариантными. Из выражения для лагранжиана L_QCD и выражения (5.11) видно, что единственными допустимыми изменениями являются замены¹¹⁾

¹¹ Отметим, что не все множители Z независимы. Например, из тождеств Славнова - Тейлора следует равенство Z=Z_B (см. § 9).

q

_i

(x)->Z

_{- 1/2}

q

_i

(x),

 

^F

^u

B

(x)->Z

_{- 1/2}

B

(x),

^a

^B

^ua

 

(x)->Z

_{- 1/2}

 

(x),

^a

^ua

 

(x)->Z

_{- 1/2}

 

(x),

^a

^ua

g->Z

_g

g,

m

_q

->Z

_m,q

m

_q

,

->Z

.

(8.9)

Калибровочная инвариантность приводит к тому, что все кварковые перенормировочные множители Z равны одной и той же величине Z_F. Аналогичное утверждение справедливо и для глюонных перенормировочных множителей, каждый из которых равен Z_B. Кроме того, перенормировочные множители для вершин qqB, BBB, BBBB и B, которые, вообще говоря, могли бы быть разными, следует заменить одним перенормировочным множителем Z_g. Такого специфического набора перенормировочных множителей оказывается вполне достаточно, чтобы обеспечить конечность функций Грина. Это является следствием тождеств (в случае абелевых калибровочных теорий называемых тождествами Уорда, а в случае неабелевых теорий - тождествами Славнова - Тейлора), которым в силу калибровочной инвариантности должны удовлетворять функции Грина. Как уже отмечалось, эти тождества¹²⁾ возникают в результате преобразований БРС. Ниже будут приведены некоторые из наиболее важных тождеств Славнова - Тейлора.

¹²⁾ Детальное исследование тождеств Уорда и Славнова — Тейлора можно найти в книгах [114, 189]

В заключение этого параграфа введем некоторые обозначения. Если в исходном лагранжиане провести замены (8.9), то мы получим выражение для перенормированного лагранжиана

L

^R

=

 

 

{

i

q

D

q - m

_q

q

q

}

 -

1

(DxB)

²

-

(·B)

²

4

2

^q

+

(

)D

(8.10 а)

где тильда над символом означает, что данная величина содержит соответствующий множитель Z, например

q=Z

_{- 1/2}

q

_u

,

^F

m=Z

_m

m,…,

Dq=

-igtB)q,

… и т.д.

(8.10 б)

Таким образом, лагранжиан L_R формально совпадает с неперенормированным лагранжианом L при замене всех входящих в него неперенормированных величин на перенормированные. Перенормированный лагранжиан L_R можно представить в виде суммы

L

=L

+L

^R

^uD

^ctD

(8.11 а)

где член

L

^uD

 

=

 

{

-

q

_u

D

q

_u

- m

q

_u

q

_u

}

 -

1

(D

_u

xD

_u

)

²

-

(B

_u

)

²

4

2

^q

+

(

_u

)D

_u

,

(8.11 б)