Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(k

^D

)

₂

|k

_E

|

²

.

_-

2

_-

2

^E

^E

Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через d^Dk_E=dk¹…dk^D, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде d^Dk_E=d|k_E|·|k_E|^D-1d_D . Используя формулу d_D=2^D/2/(D/2), получаем наконец

d

^D

k

f=

i

d|k

_E

|·|k

_E

|

^D-1

f(-|k

_E

|

²

).

(2)

^D

(2)

^D/2

(D/2)

₀

Все приведенные выше выкладки справедливы только для целых положительных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной (даже комплексной) размерности D и произвольных значений параметров r и m.

Рассмотрим далее интеграл от полиномиального по компонентам импульса k выражения, умноженного на функцию f(k²); этот интеграл можно свести к ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

d

^D

kf(k

²

)k

k

 =

g

d

^D

kf(k

²

)k

²

.

D

Наконец, интеграл общего вида сводится к только что изученным интегралам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента k. Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в приложении Б (а также многие другие), в пространстве произвольной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата

d

^D

k

 -

(k

²

)

^r

 =

i

(-1)

^r-m

·

(r+D/2)(m-r-D/2)

(2)

^D

(k

²

-a

²

)

^m

(4)

^D/2

(D/2)(m)(a

²

)

^m-r-D/2

Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2=0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции (m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию (D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию (4)=1. Такая свобода в выборе функции (D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).

Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D->4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор g в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение g=g=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака ⁰, ¹,…, ^D-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы представляют собой матрицы размерности 2^D/2x2^D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы имеют размерность 4x4, так что _r=4g; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)

Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы ₅ в D-мерном пространстве. Например, если матрицу ₅ определить в виде ₅=i⁰¹²³, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D4. Можно показать, что определение матрицы ₅ в виде ₅=i⁰…^D-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:

₅

=

i

_D

,

4!

где тензор ^D совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор ^D не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий

₂

=1,

_r

₅

=0.

⁵

(см- приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.

Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:

d

⁴

k

 ->

d

^D

k

·

(2)

⁴

(2)

^D

При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:

d

⁴

k

 ->

d

⁴

k

d

^D

k

_4-D

⁰

, D=4-,

(2)

⁴

(2)

^D

(7.1а)

где

k

=

_4/D-1

k

/2.

⁰

(7.1б)

При этом вводится нарушающий масштабную инвариантность произвольный параметр ₀, имеющий размерность массы.