Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В этом случае имеются две возможности. Первая состоит в выборе такой калибровки, в которой отсутствовали бы нефизические степени свободы. Но при этом явно нарушается лоренц-инвариантность. Вторая возможность заключается в том, чтобы все компоненты полей B рассматривать единообразно. Поскольку при этом сохраняются нефизические степени свободы, возникает необходимость введения пространства с индефинитной метрикой. Отложим обсуждение физических калибровок до следующего параграфа и рассмотрим ковариантные калибровки.

Как известно из электродинамики (на данном уровне изложения различий между КХД и КЭД нет), нельзя наложить лоренцеву калибровку вида B_a = 0 и сохранить при этом ковариантные коммутационные соотношения. Поэтому приходится отказаться от рассмотрения соотношения B = 0 как операторного уравнения. Введем пространство Гупты—Блейлера _GB, в котором соотношение (4.4) принимается в приведенном выше виде. Покажем, что это приводит к возникновению в пространстве _GB индефинитной метрики. Назовем физическими векторы, удовлетворяющие условию

 

|

 

B

(x)|

 

=0 .

^ph

^a

^ph

(4.5)

Если теперь приравнять друг другу векторы, различающиеся на вектор с нулевой нормой, т. е. принять

|

_ph

~|'

_ph

= |

_ph

+|

⁽⁰⁾

,

(4.6)

где ⁰|⁰ = 0, то мы получим пространство физических векторов L.

Чтобы сохранить соотношение (4.4), необходимо модифицировать лагранжиан (4.1), добавив к нему член -(/2)_a(B_a)² (фиксирующий калибровку). Теперь выражение для лагранжиана принимает вид

L

 

=

 -

1

G

G

 

 -

(

 

B

)

²

.

^YM

4

^a

^a

2

^a

 

^a

 

^a

(4.7)

Такая модификация не приведет к физическим следствиям, по крайней мере в случае свободных полей, так как матричные элементы добавленного члена по физическим векторам в силу условия (4.5) обращаются в нуль. Импульсы, канонически-сопряженные полям B, теперь имеют вид

(x) = G

₀

(x) - g

₀

 

B

(x) ,

^a

^a

 

^a

(4.8)

и ни одна из их компонент не обращается в нуль. Следовательно, можно сохранить соотношение (4.4) без изменений. Но при этом возникает индефинитная метрика. Рассмотрим, например, соотношение (4.4) при = 0:

[

 

B

(x),B

(y)](x

 

- y

 

)=i

 

 

 

(x-y) .

^a

^b

⁰

⁰

^ab

⁰

⁴

(4.9)

Это соотношение оказывается знаконеопределенным. Чтобы убедиться в этом, перейдем в импульсное пространство. Положим калибровочный параметр = 1 и введем канонические тетрады ^(p)(k), связанные с некоторым светоподобным вектором k:

₍₀₎

=

₀

;

_(i)

⁰

=0,

⁽ⁱ⁾

·

k=0,

i=1,2,

₍₃₎

=

1

k

⁰

k

-

₀

;

_(i)

_(j)

 = -

 

, i,j = 1,2,3.

 

^ij

(4.10)

Компоненты ⁽ⁱ⁾(i=1,2) соответствуют физическим частицам с нулевой массой, ³ представляет собой продольную компоненту, а компонента ⁰ соответствует объекту со спином нуль. Поля B можно разложить по операторам рождения и уничтожения. Такое разложение имеет вид

B

^b

(x)

=

1

(2)

^3/2

d

k

2k

⁰

 

^p

{

e

^-ik·x

(k)a

(b,k)

+

e

_ik·x

_(p)

(k)

_*

a

₊

(b,k)

}

.

 

 

 

^p

(4.11)

Используя соотношения (4.4), получаем следующие коммутационные соотношения для операторов a и a⁺:

[a

 

(b,k),a

₊

(b',k')] = -g

 

 

2k

₀

(

k-

k'),

^bb'

(4.12)

из которых видно, что вакуумное среднее 0|a₀(k)a⁺₀(k)|0 в рассматриваемой нами калибровке отрицательно.

Исходя из соотношений (4.12), можно вычислить пропагатор калибровочного поля B. Введя обозначение

TB

(x)B

 

= D

(x),

^a

^b

⁰

^ab

глюонный пропагатор при произвольном значении параметра можно записать в виде

D

(x) =

 

i

d

⁴

ke

^-ik·x

-g

+(1-

^-1

)k

k

/(k

²

+i0)

.

^ab

^ab

(2)

⁴

k

²

+i0

(4.13 a)

Для вакуумного матричного элемента использовано сокращенное обозначение

fg…h

₀

0|fg…h|0,

которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Выражение для пропагатора D можно упростить, введя обозначение 1-1/=. В импульсном пространстве выражение для пропагатора глюонного поля имеет вид

D

(k) = i

_ab

-g

+k

k

/(k

²

+i0)

 .

^ab

k

²

+i0

(4.13 б)

Особенно простой является калибровка Ферми - Фейнмана, которая соответствует значению параметра =0. Иногда оказывается удобной поперечная калибровка, или калибровка Ландау, отвечающая значению =1.

В действительности для случая /=1 выражение (4.13) должно быть подучено несколько иным способом, так как для физических безмассовых глюонов член kk/k² обращается в бесконечность. Эту трудность можно обойти, приписывая глюонам некоторую фиктивную массу M. Тогда в импульсном пространстве пропагатор описывается выражением

D

(k,M) =

-g

+(1-

^-1

)k

k

/(k

²

-

^-1

M

²

+i0)

 i

_ab

,

^ab

k

²

-M

²

+i0

из которого в пределе M->0 следует выражение (4.13).

В квантовой электродинамике фотоны не испытывают самодействия, поэтому в рамках этой теории использование ковариантных калибровок не сопряжено с дополнительными трудностями и проводится на описанном выше уровне. Но в случае квантовой хромодинамики самодействие глюонов приводит к дальнейшим усложнениям. Этому вопросу посвящен следующий параграф.

§ 5. Унитарность, лоренцевы калибровки, духи, физические калибровки

1. Ковариантные калибровки