Читаем Курс теоретической астрофизики полностью

Курс теоретической астрофизики

Спектральные линии не являются строго монохроматическими. В каждой линии могут поглощаться фотоны разных частот, близких к центральной частоте линии ν₀. Вероятность поглощения фотонов частоты ν внутри линии определяется многими причинами. Как и раньше (см. § 1), мы будем характеризовать эту вероятность объёмным коэффициентом поглощения, который обозначим через σ_ν. Физический смысл этой величины, как мы помним, состоит в том, что вероятность поглощения фотона частоты ν на пути 𝑑𝑠 равна σ_ν𝑑𝑠. Отметим также, что количество энергии частоты ν, поглощаемое единицей объёма за 1 с, равно σ_ν∫𝐼_ν𝑑ω где 𝐼_ν — интенсивность излучения и интегрирование ведётся по всем направлениям.

Пусть рассматриваемая линия возникает при переходе атома из 𝑖-го состояния в 𝑘-е и 𝑛_𝑖 — число атомов в 𝑖-м состоянии в 1 см³. Мы можем представить величину σ_ν в виде σ_ν=𝑛_𝑖𝑘_ν, где 𝑘_ν — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Очевидно, что величины σ_ν и 𝑘_ν зависят от индексов 𝑖 и 𝑘, но для упрощения записи эти индексы мы опускаем.

Коэффициент поглощения 𝑘_ν связан простой зависимостью с эйнштейновским коэффициентом поглощения 𝐵_𝑖𝑘. Чтобы получить эту зависимость, напишем выражение для числа переходов с 𝑖-го уровня на 𝑘-й происходящих в 1 см³ за 1 с, сначала с помощью 𝐵_𝑖𝑘, а затем с помощью 𝑘_ν. С одной стороны, указанное число переходов равно 𝑛_𝑘𝐵_𝑖𝑘ρ_𝑖𝑘. С другой стороны, то же число переходов можно представить в виде

𝑛

_𝑘

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

ℎν

∫

𝐼

_ν

𝑑ω

Приравнивая оба эти выражения и учитывая, что ∫𝐼_ν 𝑑ω=𝑐ρ_ν, где ρ_ν — плотность излучения, находим

𝑐

∫

𝑘

_ν

ρ_ν

ℎν

𝑑ν

𝐵

_𝑖𝑘

(8.11)

Так как коэффициент поглощения 𝑘_ν имеет резкий максимум в центральной частоте ν₀, то среднее значение величины ρ_ν/ℎν можно вынести за знак интеграла. Тогда вместо (8.11) получаем

∫

𝑘

_ν

𝑑ν

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

(8.12)

Соотношение (8.12) имеет место во всех случаях, независимо от того, какими причинами обусловлен вид функции 𝑘_ν В частности, из этого соотношения следует, что чем шире интервал частот, внутри которого величина 𝑘_ν не сильно отличается от своего значения в центре линии, тем меньше среднее значение коэффициента 𝑘_ν в этом интервале.

Зависимость коэффициента поглощения 𝑘_ν от частоты, как уже сказано, определяется рядом причин. Главными из них являются следующие: 1) затухание излучения (в терминах классической электронной теории) или размытость энергетических уровней атома (в терминах квантовой механики), 2) эффект Доплера, происходящий от теплового движения атомов.

Допустим сначала, что коэффициент поглощения определяется только затуханием излучения. В этом случае, согласно квантовой теории излучения (см., например, [1]), мы имеем

𝑘

_ν

𝑐²

𝑔

_𝑘

𝐴

_𝑘𝑖

32π³ν₀²

𝑔

_𝑖

(ν-ν₀)²

⎛

⎜

⎝

_𝑘𝑖

⎞

⎟

⎠

4π

(8.13)

где Γ_𝑘𝑖=γ_𝑖+γ_𝑘, а величина γ_𝑘 даётся формулой (8.8). Обозначим через Δν_𝐸 расстояние от центра линии, на котором значение 𝑘_ν составляет половину максимального значения 𝑘_ν₀ Очевидно, что Δν_𝐸=Γ_𝑘𝑖/4π. Величина 2Δν_𝐸 называется естественной шириной спектральной линии. От ширины, выраженной в частотах, мы можем перейти к ширине, выраженной в длинах волн, пользуясь формулой Δλ_𝐸=λ₀Δν_𝐸/ν₀. Естественная ширина линии, выраженная в длинах волн, оказывается порядка 0,001 Å.

Будем теперь считать, что зависимость 𝑘_ν от частоты определяется только тепловым движением атомов. В этом случае выражение для 𝑘_ν можно получить весьма легко. Если неподвижный атом поглощает фотоны с частотой ν₀, то движущийся атом поглощает фотоны с частотой ν=ν₀+ν₀𝑣_𝑥/𝑐, где 𝑣_𝑥 — проекция скорости атома на направление излучения (ось 𝑥). Мы примем, что распределение атомов по скоростям даётся формулой Максвелла, т.е. число атомов со скоростями от 𝑣_𝑥 до 𝑣_𝑥+𝑑𝑣_𝑥 равно

𝑑𝑛

exp

⎛

⎜

⎝

𝑀𝑣_𝑥²

2𝑘𝑇

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑣

_𝑥

(8.14)

где 𝑀 — масса атома. Очевидно, что вероятность поглощения фотонов с частотами от ν до ν+𝑑ν пропорциональна числу атомов со скоростями от 𝑣_𝑥 до 𝑣_𝑥+𝑑𝑣_𝑥. Поэтому для коэффициента поглощения имеем

𝑘

_ν

𝑘₀

exp

⎛

⎜

⎝

𝑀

2𝑘𝑇

⎧

⎪

⎩

ν-ν₀

ν₀

𝑐

⎫²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

(8.15)

где 𝑘₀ — значение 𝑘_ν в центре линии.

Величину 𝑘₀ мы пока не знаем, однако во всех случаях, когда коэффициент поглощения в линии известен с точностью до постоянного множителя, этот множитель можно найти с помощью соотношения (8.12). Подставляя (8.15) в (8.12), получаем

𝑘₀

𝑐³

8π³^/²ν₀³𝑣

𝑔_𝑘

𝑔_𝑖

𝐴

_𝑘𝑖

(8.16)

Формулу (8.15) можно переписать в виде

𝑘

_ν

𝑘₀

exp

⎛

⎜

⎝

⎧

⎪

⎩

ν-ν₀

Δν_𝐷

⎫²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

(8.17)

где Δν_𝐷=ν₀𝑣/𝑐 и 𝑣 — средняя тепловая скорость атома, равная 𝑣=√2𝑘𝑇/𝑀. Величина 2Δν_𝐷 называется доплеровской шириной спектральной линии. Выраженная в длинах волн доплеровская ширина оказывается порядка 0,1 Å (при средней скорости атома порядка 1 км/с). Следовательно, доплеровская ширина гораздо больше естественной ширины.

Легко получить, что при совместном действии затухания излучения и эффекта Доплера коэффициент поглощения равен

𝑘

_ν

𝑘₀

𝑎

+∞

∫

-∞

𝑒^-𝑦²𝑑𝑦

(𝑢+𝑦)²+𝑎²

(8.18)

где