Курс теоретической астрофизики

⎤⁻¹

⎥

⎦

.

(8.4)

Сравнивая (8.4) с формулой Планка (4.4), также имеющей место при термодинамическом равновесии, находим

𝐴

_𝑘𝑖

=

8πℎν_𝑖𝑘³

𝑐³

𝐵

_𝑘𝑖

,

𝐵

_𝑘𝑖

=

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

𝐵

_𝑖𝑘

.

(8.5)

Таким образом, если известен один из коэффициентов Эйнштейна, то два других определяются при помощи соотношений (8.5). Заметим, что хотя эти соотношения и были получены при рассмотрении термодинамического равновесия, они справедливы всегда, так как эйнштейновские коэффициенты переходов характеризуют свойства атома и фотона и не зависят от того, как распределены атомы по состояниям и фотоны по частотам.

Следует подчеркнуть большое различие между спонтанным и вынужденным излучением. При спонтанных переходах фотоны испускаются во все стороны. При вынужденных переходах фотоны испускаются в том же направлении, в каком летят вызвавшие эти переходы фотоны. Поэтому интенсивность падающего на атомы пучка излучения убывает вследствие поглощения, но возрастает вследствие вынужденных переходов. Этим объясняется, почему вынужденное излучение называют также отрицательным поглощением.

Из сказанного следует, что полное количество фотонов, поглощаемых в рассматриваемой линии в 1 см³ за 1 с, равно

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

-

𝑛

_𝑘

𝐵

_𝑘𝑖

ρ

_𝑖𝑘

=

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

-

𝑛_𝑘𝐵_𝑘𝑖

𝑛_𝑖𝐵_𝑖𝑘

⎞

⎟

⎠

.

На основании второго из соотношений (8.5) это выражение можно переписать в виде

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

-

𝑔_𝑖𝑛_𝑘

𝑔_𝑘𝑛_𝑖

⎞

⎟

⎠

.

Таким образом, для учёта отрицательного поглощения надо количество фотонов, претерпевших обычное поглощение, умножить на величину

1

-

𝑔_𝑖𝑛_𝑘

𝑔_𝑘𝑛_𝑖

.

Если распределение атомов по уровням даётся формулой Больцмана (в частности, при термодинамическом равновесии), то вместо последнего выражения имеем

𝑛

_𝑖

𝐵

_𝑖𝑘

ρ

_𝑖𝑘

⎛

⎜

⎝

1

-

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

.

Следовательно, в данном случае множитель, учитывающий отрицательное поглощение, равен

1

-

exp

⎧

⎪

⎩

-

ℎν_𝑖𝑘

𝑘𝑇

⎫

⎪

⎭

.

Этим результатом мы уже пользовались ранее при рассмотрении поглощения в непрерывном спектре (§ 5).

Знание эйнштейновских коэффициентов спонтанных переходов даёт возможность определить среднюю продолжительность жизни атома в возбуждённых состояниях. Пусть 𝑛_𝑘(0) — число атомов в 𝑘-м состоянии в момент времени 𝑡=0. Убывание вследствие спонтанных переходов на все лежащие ниже уровни происходит по закону

𝑑𝑛

_𝑘

=-

𝑛

_𝑘

𝑘-1

∫

𝑖=1

𝐴

_𝑘𝑖

𝑑𝑡

,

(8.6)

или после интегрирования,

𝑛

_𝑘

(𝑡)

=

𝑛

_𝑘

(0)

𝑒

^-γ_𝑘𝑡

,

(8.7)

где обозначено

γ

_𝑘

=

𝑘-1

∫

𝑖=1

𝐴

_𝑘𝑖

.

(8.8)

Отсюда для средней продолжительности жизни атома в 𝑘-м состоянии получаем

𝑡

_𝑘

=

∞

∫

0

𝑡

𝑒

^-γ_𝑘𝑡

γ

_𝑘

𝑑𝑡

=

1

γ_𝑘

.

(8.9)

Величины 𝐴_𝑘𝑖 для разрешённых переходов — порядка 10⁷ с⁻¹. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом состоянии оказывается порядка 10⁻⁷ с. Исключение составляют метастабильные состояния, из которых все переходы на нижележащие уровни запрещены. Для запрещённых переходов величины 𝐴_𝑘𝑖 гораздо меньше, чем для разрешённых переходов. Поэтому средняя продолжительность жизни атома в метастабильном состоянии очень велика (иногда доходит до нескольких часов).

Для вычисления эйнштейновских коэффициентов переходов необходимо знать волновые функции атома. Так как определение волновых функций представляет весьма сложную задачу, то эйнштейновские коэффициенты переходов вычислены лишь для простейших случаев.

В таблице 5 даны значения величин 𝐴_𝑘𝑖 для атома водорода. Здесь под индексами 𝑖 и 𝑘 понимаются главные квантовые числа, а величины 𝐴_𝑘𝑖 имеют следующий смысл. Если 𝑛_𝑘 есть количество атомов во всех состояниях с главным квантовым числом 𝑘, то общее число переходов в состояния с главным квантовым числом 𝑖, происходящих за 1 с, равно 𝑛_𝑘𝐴_𝑘𝑖. При этом предполагается, что распределение атомов по состояниям с разными азимутальными квантовыми числами пропорционально статистическим весам этих состояний.

Таблица 5

Значения 𝐴_𝑘𝑖 для атома водорода

𝑘

𝑖

1

2

3

4

5

6

7

2

4,67⋅10⁸

-

-

-

-

-

-

3

5,54⋅10⁷

4,39⋅10⁷

-

-

-

-

-

4

1,27⋅10⁷

8,37⋅10⁶

8,94⋅10⁶

-

-

-

-

5

4,10⋅10⁶

2,52⋅10⁶

2,19⋅10⁶

2,68⋅10⁶

-

-

-

6

1,64⋅10⁶

9,68⋅10⁵

7,74⋅10⁵

7,67⋅10⁵

1,02⋅10⁶

-

-

7

7,53⋅10⁵

4,37⋅10⁵

3,34⋅10⁵

3,03⋅10⁵

3,24⋅10⁵

4,50⋅10⁵

-

8

3,85⋅10⁵

2,20⋅10⁵

1,64⋅10⁵

1,42⋅10⁵

1,38⋅10⁵

1,55⋅10⁵

2,26⋅10⁵

Эйнштейновские коэффициенты переходов 𝐴_𝑘𝑖, 𝐵_𝑘𝑖 и 𝐵_𝑖𝑘 просто выражаются через так называемую силу осциллятора 𝑓_𝑖𝑘. Например, эйнштейновский коэффициент спонтанного перехода равен

𝐴

_𝑘𝑖

=

8π²𝑒²ν_𝑖𝑘²

𝑚𝑐³

𝑔_𝑖

𝑔_𝑘

_𝑖𝑘

,

(8.10)

где 𝑚 — масса электрона и 𝑒 — его заряд. Величина 𝑓_𝑖𝑘 является безразмерной и представляет собой число классических осцилляторов, которые по поглощательному действию заменяют один атом.

2. Коэффициент поглощения, обусловленный затуханием излучения и тепловым движением атомов.