Курс теоретической астрофизики

Функция 𝐻(𝑢,𝑎) играет очень большую роль в теории линейчатых спектров звёзд и поэтому подробно изучалась и табулировалась.

Вследствие того, что величина 𝑎 обычно очень мала, удобно разложить функцию 𝐻(𝑢,𝑎) в ряд по степеням 𝑎, т.е. представить в виде

𝐻(𝑢,𝑎)

=

𝐻₀(𝑢)

+

𝑎𝐻₁(𝑢)

+

𝑎²𝐻₂(𝑢)

+ …

(8.21)

Оказывается, что

𝐻₀(𝑢)

=

𝑒

^-𝑢²

,

(8.22)

𝐻₁(𝑢)

=-

2

√π

⎡

⎢

⎣

1

-

2𝑢

𝑒

^-𝑢²

𝑢

∫

0

𝑒

^𝑡²

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

(8.23)

и т.д. В табл. 6 приведены значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢) для некоторых значений 𝑢. Подробные таблицы функций 𝐻_𝑖(𝑢) даны Гаррисом [2].

Таблица 6

Значения функций 𝐻₀(𝑢), 𝐻₁(𝑢) и 𝐻₂(𝑢)

𝑢

𝐻₀(𝑢)

𝐻₁(𝑢)

𝐻₂(𝑢)

0

1,0000

-1,1284

+1,0000

0,2

0,9608

-1,0405

+0,8839

0,4

0,2521

-0,8035

+0,5795

0,6

0,6977

-0,4855

+0,1953

0,8

0,5273

-0,1672

-0,1476

1,0

0,3679

+0,0859

-0,3679

1,2

0,2369

+0,2454

-0,4454

1,4

0,1409

+0,3139

-0,4113

1,6

0,0773

+0,3157

-0,3185

1,8

0,0392

+0,2803

-0,2146

2,0

0,0183

+0,2317

-0,1282

2,2

0,0079

+0,1849

-0,0686

2,4

0,0032

+0,1461

-0,0332

2,6

0,0012

+0,1165

-0,0245

2,8

0,0004

+0,0947

-0,0058

3,0

0,0001

+0,0786

-0,0021

Приближённо при 𝑎≪1 в центральных частях линии коэффициент поглощения равен

𝑘

_ν

=

𝑘₀

𝑒

^-𝑢²

.

(8.24)

Для далёких же от центра частей линии из формулы (8.18) находим

𝑘

_ν

=

𝑘₀

𝑎

√π

1

𝑢²

(8.25)

Переходная область между областями применения формул (8.24) и (8.25) находится из того условия, что в ней значения 𝑘_ν, даваемые этими формулами, одного порядка.

Легко видеть, что формула (8.24) совпадает с (8.17), а формула (8.25) — с (8.13) (если пренебречь в последней Γ_𝑖𝑘/4π по сравнению с |ν-ν₀|). Следовательно, вблизи центра линии коэффициент поглощения определяется эффектом Доплера, а вдали от него — затуханием излучения.

3. Эффекты давления.

При получении формулы (8.18) были приняты во внимание только естественная размытость энергетических уровней атома и участие атома в тепловом движении. Однако на вид функции 𝑘_ν также сильно влияет присутствие посторонних частиц. Это влияние мы будем называть эффектами давления (так как чем больше давление, тем сильнее это влияние).

Самой простой формой эффектов давления является столкновение атома с посторонней частицей, при котором энергия возбуждения атома передаётся частице (удар второго рода). Из-за таких столкновений среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии будет меньше, чем определённое по формуле (8.9), а размытость энергетического уровня — соответственно больше. Последнее следует из принципа неопределённостей Гейзенберга, согласно которому Δ𝐸Δ𝑡≃ℎ. При учёте столкновений для средней продолжительности жизни атома в возбуждённом состоянии вместо формулы (8.9) имеем

𝑡

_𝑘

=

1

γ_𝑘+γ_𝑐

.

(8.26)

где γ_𝑐 — число столкновений за 1 с, рассчитанное на один возбуждённый атом.

Коэффициент поглощения при учёте столкновений будет опять определяться формулой (8.18), в которой под 𝑎 следует понимать величину

𝑎

=

Δν_𝐸+Δν_𝑐

Δν_𝐷

,

(8.27)

где Δν_𝑐 — полуширина, определяемая столкновениями (т.е. соответствующая величине γ_𝑐).

Однако на коэффициент поглощения влияют не только удары второго рода. Гораздо большее влияние на него оказывают прохождения посторонних частиц около атома. При таких прохождениях меняется силовое поле вблизи атома, вследствие чего происходит смещение энергетических уровней. Очевидно, что смещение уровней данного атома меняется с течением времени, а для определённого момента времени уровни разных атомов смещены на неодинаковую величину. Поэтому указанный эффект вызывает расширение спектральных линий.

Задача об определении коэффициента поглощения при учёте прохождения посторонних частиц около атома весьма сложна (см. [3]). При её решении необходимо принимать во внимание как различия в типах атомов (нейтральные и ионизованные), так и различия в типах посторонних частиц (свободные электроны, ионы, нейтральные атомы, молекулы). Обычно принимается, что если посторонняя частица находится на расстоянии 𝑟 от атома, то происходит смещение частоты линии на величину

Δ

_ν

=

𝐶_𝑘

𝑟^𝑘

,

(8.28)

где 𝑘 и 𝐶_𝑘 — некоторые постоянные, различные для разных случаев. При прохождении около атома заряженной частицы 𝑘=2 или 𝑘=4 (соответственно линейный и квадратичный эффект Штарка). Если рассматриваемые атомы встречаются с подобными им атомами, то 𝑘=3 (эффект собственного давления). При встречах атомов с атомами других элементов или с молекулами 𝑘=6 (эффект сил ван-дер-Ваальса). Постоянная 𝐶_𝑘 для каждого случая определяется из теоретических соображений или экспериментально.

Для нахождения коэффициента поглощения при заданном законе взаимодействия между атомами и посторонними частицами были разработаны два метода. Первый из них состоит в рассмотрении отдельных сближений атомов с частицами и в последующем суммировании результатов сближений (метод дискретных встреч). Второй метод основан на определении вероятности напряжённости поля при случайном расположении возмущающих частиц, которые считаются неподвижными (статистическая теория).