Курс теоретической астрофизики

Мы сейчас рассмотрим (более подробно, чем выше) линейный эффект Штарка, который действует на уровни водорода и высокие уровни гелия. Сначала допустим, что возмущающими частицами являются ионы. Так как тепловые скорости ионов сравнительно невелики, то в этом случае можно применить статистическую (или, как её иногда называют, статическую) теорию.

Выше было получено выражение для 𝑘_ν при допущении, что возмущение вызывается лишь ближайшей к атому частицей. Теперь мы примем во внимание все частицы, которые будем считать случайно расположенными в пространстве.

Пусть 𝐹 — напряжённость поля, создаваемого частицей, находящейся на расстоянии 𝑟 от атома, т.е.

𝐹

=

𝑒

𝑟²

,

(8.36)

и 𝐹₀ — «средняя» напряжённость поля, соответствующая значению 𝑟₀, определённому формулой (8.33), т.е.

𝐹₀

=

𝑒

𝑟₀²

=

⎛

⎜

⎝

4π

3

⎞²^/³

⎟

⎠

𝑒𝑛²

^/

³

=

2,60

𝑒𝑛²

^/

³

.

(8.37)

Обозначим через β величину 𝐹/𝐹₀ и через 𝑊(β)𝑑β — вероятность того, что эта величина заключена в интервале от β до β+𝑑β.

Функция 𝑊(β) при учёте действия всех частиц была впервые найдена Хольцмарком. Она даётся формулой

𝑊(β)

=

2

πβ

∞

∫

0

𝑥sin 𝑥

exp

⎛

⎜

⎝

-

⎧

⎪

⎩

𝑥

β

⎫³^/²

⎪

⎭

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

.

(8.38)

При β≫1 из (8.38) получаем

𝑊(β)

=

1,496β⁻⁵

^/

²

×

×

(

1

+

5,106β⁻³

^/

²

+

14,43β⁻³

+…

),

(8.39)

а при β≪1

𝑊(β)

=

4

3π

β²

(

1

-

0,4628β²

+

0,1227β⁴

+…

).

(8.40)

Значения функции Хольцмарка приведены в табл. 7.

Таблица 7

Функция Хольцмарка

β

𝑊(β)

β

𝑊(β)

β

𝑊(β)

0

0

3,0

0,176

6,0

0,0242

0,2

0,017

3,2

0,150

6,2

0,0219

0,4

0,063

3,4

0,128

6,4

0,0199

0,6

0,130

3,6

0,111

6,6

0,0181

0,8

0,203

3,8

0,098

6,8

0,0166

1,0

0,271

4,0

0,086

7,0

0,0153

1,2

0,324

4,2

0,075

7,5

0,0125

1,4

0,356

4,4

0,065

8,0

0,0104

1,6

0,367

4,6

0,0573

8,5

0,0087

1,8

0,360

4,8

0,0494

9,0

0,0075

2,0

0,339

5,0

0,0431

10,0

0,0056

2,2

0,310

5,2

0,0379

15,0

0,00188

2,4

0,275

5,4

0,0336

20,0

0,00089

2,6

0,238

5,6

0,0299

25,0

0,00050

2,8

0,206

5,8

0,0268

30,0

0,00031

Если бы мы приняли во внимание только действие ближайшей частицы, то, пользуясь формулой (8.32) и тем, что β=(𝑟₀/𝑟)², получили бы

𝑊(β)

=

3

2

exp

⎛

⎝

-β⁻³

^/

²

⎞

⎠

β⁻⁵

^/

²

.

(8.41)

При β≫1 формула (8.41) даёт почти такие же значения 𝑊(β), как и формула (8.38). Объясняется это тем, что большие напряжённости поля создаются в основном ближайшей частицей.

После определения функции 𝑊(β) можно без труда найти и коэффициент поглощения 𝑘_ν Очевидно, что величина β может быть представлена в виде β=(ν-ν₀)/(Δν)₀, где (Δν)₀ — смещение линии при напряжённости поля 𝐹₀. Поэтому вероятность поглощения фотонов с частотами от ν до ν+𝑑ν будет равна 𝑊[(ν-ν₀)/(Δν)₀]𝑑ν/(Δν)₀. Однако в действительности линия в электрическом поле расщепляется на ряд компонент. Обозначим через 𝐼_𝑗 относительную силу 𝑗-й компоненты и через 𝑏_𝑗 — смещение этой компоненты при единичной напряжённости поля (следовательно, (Δν)₀=𝑏_𝑗 𝐹₀). Тогда для коэффициента поглощения получаем

𝑘

_ν

∼

∑

𝐼_𝑗

𝑏_𝑗 𝐹₀

𝑊

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀

𝑏_𝑗 𝐹₀

⎞

⎟

⎠

.

(8.42)

Как известно (см., например, [3]),

𝑏

_𝑗

=

3ℎ

8π²𝑚𝑒

𝑛

_𝑗

,

(8.43)

где 𝑚 и 𝑒 — масса и заряд электрона, 𝑛_𝑗 — целое число, зависящее от начального и конечного уровней.

Чтобы полностью определить 𝑘_ν, воспользуемся, как обычно в таких случаях, формулой (8.11). В результате находим

𝑘

_ν

=

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

∑

𝐼_𝑗

𝑏_𝑗 𝐹₀

𝑊

⎛

⎜

⎝

ν-ν₀

𝑏_𝑗 𝐹₀

⎞

⎟

⎠

.

(8.44)

Наибольший интерес представляет поведение коэффициента поглощения в далёких от центра частях линии. В этом случае, беря для 𝑊(β) только первый член в формуле (8.39), имеем

𝑘

_ν

=

ℎν₀

𝑐

𝐵

_𝑖𝑘

1,496𝐹₀³^/²

(ν-ν₀)⁵^/²

∑

𝐼

_𝑗

𝑏

_𝑗

³

^/

²

.

(8.45)

Эта формула, как и должно быть, находится в полном соответствии с формулой (8.35) при 𝑘=2.

Перейдём в формуле (8.45) от частоты ν к длине волны λ и запишем её в виде

𝑘

_λ

=

𝐶

𝐹₀³^/²

(λ-λ₀)⁵^/²

,

(8.46)

где 𝐶 — постоянная, различная для разных линий. В случае бальмеровских линий вычисления дали, что постоянная 𝐶 равна 3,13⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_α, 0,885⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_β, 0,442⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_γ и 0,309⋅10⁻¹⁶ для 𝐻_δ, причём λ-λ₀ выражено в ангстремах.

Следует подчеркнуть, что входящая в формулу (8.46) величина 𝐹₀ представляет собой «среднюю» напряжённость поля, обусловленную ионами. Подставляя (8.37) в (8.46), находим

𝑘

_λ

=

4π

3

𝐶

𝑒³^/²𝑛

(λ-λ₀)⁵^/²

,

(8.47)

где 𝑛 — число ионов в 1 см³. Мы видим, что в крыльях водородных линий коэффициент поглощения тем больше, чем больше концентрация ионов. Поэтому можно ожидать широких водородных линий поглощения в спектрах звёзд с большими плотностями в атмосферах (особенно в спектрах белых карликов).

Из формулы (8.47) также видно, что во внешних частях линий коэффициент поглощения, обусловленный эффектом Штарка, убывает как (λ-λ₀)⁻⁵^/². Этим он существенно отличается от коэффициента поглощения, обусловленного затуханием, который убывает как (λ-λ₀)⁻².