Курс теоретической астрофизики

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ')

𝑑τ'

+

𝐴𝐹

2(1-𝐴)

𝐸₂τ

.

(7.17)

Уравнение (7.17) при 𝐴=0 переходит в уравнение Милна.

Легко убедиться, что решение уравнения (7.17) имеет вид

𝑆(τ)

=

𝐴

1-𝐴

𝐹

+

3

4

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

,

(7.18)

где 𝑞(τ) — функция Хопфа [см. формулу (2.51)].

Используя известные соотношения

𝑆(τ)

=

σ𝑇⁴

/

π

и

𝐹

=

σ𝑇

4

𝑒

/

π

вместо (7.18) находим

𝑇⁴

=

𝑇

4

𝑒

⎧

⎨

⎩

𝐴

1-𝐴

+

3

4

𝐹

[τ+𝑞(τ)]

⎫

⎬

⎭

.

(7.19)

Из формулы (7.19) видно, какое влияние оказывает покровный эффект на температуру в фотосфере. Однако эту формулу нельзя применять при очень малых значениях τ (из-за сделанного выше допущения о том, что излучение отражается от самой границы звезды).

3. Эффект отражения в тесных парах.

Рис. 10

Если две звезды находятся близко друг от друга, то при изучении их свечения необходимо принимать во внимание обмен лучистой энергией между ними. В этом случае к собственному излучению каждой звезды добавляется ещё излучение, отражённое ею. Разумеется, процесс отражения является в действительности весьма сложным: он состоит в том, что в каждой звезде под действием излучения соседней звезды происходит увеличение температуры, вследствие чего и возрастает количество излучаемой звездою энергии. Напишем уравнение лучистого равновесия для данной задачи. Допустим, что на границу звезды 𝐴 падает излучение от звезды 𝐵 внутри телесного угла Ω (рис. 10). Угол Ω для простоты будем считать малым. Среднюю интенсивность излучения, падающего внутри телесного угла Ω, обозначим через 𝐼₀, а средний угол между направлением этого излучения и нормалью к фотосферным слоям — через θ₀ Тогда уравнение лучистого равновесия будет иметь вид

𝑆(τ,μ₀)

=

1

2

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ',μ₀)

𝑑μ'

+

𝐼₀Ω

4π

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

,

(7.20)

где 𝐼(τ,μ',μ₀) — интенсивность диффузного излучения в фотосфере (μ'=cos θ', μ₀=cos θ₀).

Пользуясь уравнением (7.20) и уравнением переноса излучения, как и при получении уравнения (2.45), находим

𝑆(τ,μ₀)

=

1

2

∞

∫

0

𝐸₁|τ-τ'|

𝑆(τ',μ₀)

𝑑τ'

+

𝐼₀Ω

4π

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

.

(7.21)

Уравнение (7.21) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Решение этого уравнения будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое определяется источниками энергии, находящимися внутри звезды (на бесконечно большой глубине), а второе — энергией, поступающей в фотосферу звезды 𝐴 от звезды 𝐵. На основании формул (3.16) и (3.64) получаем

𝑆(τ,μ₀)

=

√3

4

𝐹

⎡

⎢

⎣

1

+

τ

∫

0

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

+

𝐼₀Ω

4π

φ(μ₀)

×

×

⎡

⎢

⎣

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

+

τ

∫

0

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ-τ'

μ₀

⎞

⎟

⎠

Φ(τ')

𝑑τ'

⎤

⎥

⎦

,

(7.22)

где φ(μ₀) и Φ(τ) — функции, определяемые уравнениями (3.53) и (3.55) соответственно.

При τ=0 из (7.22) получается следующая простая формула:

𝑆(0,μ₀)

=

√3

4

𝐹

+

𝐼₀Ω

4π

φ(μ₀)

.

(7.23)

Так как величина 𝑆(τ,μ₀) пропорциональна 𝑇⁴, то при помощи формулы (7.22) может быть вычислена температура 𝑇 на любой оптической глубине и при произвольном положении соседней звезды относительно данного места в фотосфере. Формула (7.23) позволяет определить значение поверхностной температуры 𝑇₀.

Если температура в фотосфере известна, то, пользуясь формулой (6.3), можно найти интенсивность излучения, выходящего из данного места поверхности звезды в любой частоте ν.

Очевидно, что для нахождения полной интенсивности излучения нет необходимости в знании температуры. Обозначим через θ угол отражения, т.е. угол между направлением выходящего из звезды излучения и направлением радиуса-вектора (cos θ=μ). Тогда интенсивность излучения 𝐼(0,μ,μ₀) будет определяться формулой

𝐼(0,μ,μ₀)

=

∞

∫

0

𝑆(τ,μ₀)

exp

⎛

⎜

⎝

-

τ

μ₀

⎞

⎟

⎠

𝑑τ

μ

,

(7.24)

в которую надо подставить выражение (7.22). Указанная подстановка уже была сделана в § 3. На основании формулы (3.40) (в которой 𝑚=1/μ₀) и формул (3.57) и (3.63) находим

𝐼(0,μ,μ₀)

=

√3

4

𝐹φ(μ)

+

𝐼₀Ω

4π

φ(μ)φ(μ₀)

μ+μ₀

μ₀

.

(7.25)

Из полученных формул видно, что эффект отражения тем больше, чем больше отношение 𝐼₀Ω/π𝐹 Это отношение можно представить в более удобной форме. Если телесный угол Ω мал, то мы получаем

𝐼₀

Ω

=

𝐿_𝐵

4π𝑟²

,

(7.26)

где 𝐿_𝐵 — светимость звезды 𝐵 и 𝑟 —расстояние между звёздами 𝐴 и 𝐵. С другой стороны, имеем

π𝐹

=

𝐿_𝐵

4π𝑟_𝐵²

,

(7.27)

где 𝐿_𝐵 и 𝑟_𝐵 — светимость и радиус звезды 𝐵 соответственно. Из (7.26) и (7.27) следует:

𝐼₀Ω

π𝐹

=

𝐿_𝐵

𝐿_𝐴

⎛

⎜

⎝

𝑟_𝐴

𝑟

⎞²

⎟

⎠

.

(7.28)

Оценки по приведённым формулам показывают, что роль эффекта отражения может быть значительной. Разумеется, она зависит от положения звезды 𝐵 относительно рассматриваемого места в фотосфере звезды 𝐴 (тем больше, чем меньше угол θ₀). Эффект отражения сказывается на кривых изменения блеска.

4. Поляризация излучения горячих звёзд.

В фотосферах горячих звёзд большую роль в переносе излучения играет рассеяние света свободными электронами. В этом случае свет, рассеянный элементарным объёмом, является поляризованным. Поэтому при изучении фотосфер горячих звёзд необходимо рассмотреть перенос поляризованного излучения.