Курс теоретической астрофизики

Будем теперь считать, что зависимость k от частоты определяется только тепловым движением атомов. В этом случае выражение для k можно получить весьма легко. Если неподвижный атом поглощает фотоны с частотой , то движущийся атом поглощает фотоны с частотой =+v_x/c, где v_x — проекция скорости атома на направление излучения (ось x). Мы примем, что распределение атомов по скоростям даётся формулой Максвелла, т.е. число атомов со скоростями от v_x до v_x+dv_x равно

dn

~

exp

-

Mv_x^2

2kT

dv

_x

,

(8.14)

где M — масса атома. Очевидно, что вероятность поглощения фотонов с частотами от до +d пропорциональна числу атомов со скоростями от v_x до v_x+dv_x. Поэтому для коэффициента поглощения имеем

k

=

k

exp

-

M

2kT

-

c

^2

,

(8.15)

где k — значение k в центре линии.

Величину k мы пока не знаем, однако во всех случаях, когда коэффициент поглощения в линии известен с точностью до постоянного множителя, этот множитель можно найти с помощью соотношения (8.12). Подставляя (8.15) в (8.12), получаем

k

=

c^3

8^3^/^2^3v

g_k

g_i

A

_ki

.

(8.16)

Формулу (8.15) можно переписать в виде

k

=

k

exp

-

-

_D

^2

,

(8.17)

где _D=v/c и v — средняя тепловая скорость атома, равная v=2kT/M. Величина 2_D называется доплеровской шириной спектральной линии. Выраженная в длинах волн доплеровская ширина оказывается порядка 0,1 A (при средней скорости атома порядка 1 км/с). Следовательно, доплеровская ширина гораздо больше естественной ширины.

Легко получить, что при совместном действии затухания излучения и эффекта Доплера коэффициент поглощения равен

k

=

k

a

+

-

e^{-y^2}dy

(u+y)^2+a^2

,

(8.18)

где

u

=

-

_D

,

a

=

_E

_D

(8.19)

и k даётся формулой (8.16).

Вводя обозначение k/k=H(u,a), мы имеем

H(u,a)

=

a

+

-

e^{-y^2}dy

(u+y)^2+a^2

.

(8.20)

Функция H(u,a) играет очень большую роль в теории линейчатых спектров звёзд и поэтому подробно изучалась и табулировалась.

Вследствие того, что величина a обычно очень мала, удобно разложить функцию H(u,a) в ряд по степеням a, т.е. представить в виде

H(u,a)

=

H(u)

+

aH(u)

+

a^2H(u)

+ …

(8.21)

Оказывается, что

H(u)

=

e

^{-u^2}

,

(8.22)

H(u)

=-

2

1

-

2u

e

^{-u^2}

u

0

e

^{t^2}

dt

(8.23)

и т.д. В табл. 6 приведены значения функций H(u), H(u) и H(u) для некоторых значений u. Подробные таблицы функций H_i(u) даны Гаррисом [2].

Таблица 6

Значения функций H(u), H(u) и H(u)

u

H(u)

H(u)

H(u)

0

1,0000

-1,1284

+1,0000

0,2

0,9608

-1,0405

+0,8839

0,4

0,2521

-0,8035

+0,5795

0,6

0,6977

-0,4855

+0,1953

0,8

0,5273

-0,1672

-0,1476

1,0

0,3679

+0,0859

-0,3679

1,2

0,2369

+0,2454

-0,4454

1,4

0,1409

+0,3139

-0,4113

1,6

0,0773

+0,3157

-0,3185

1,8

0,0392

+0,2803

-0,2146

2,0

0,0183

+0,2317

-0,1282

2,2

0,0079

+0,1849

-0,0686

2,4

0,0032

+0,1461

-0,0332

2,6

0,0012

+0,1165

-0,0245

2,8

0,0004

+0,0947

-0,0058

3,0

0,0001

+0,0786

-0,0021

Приближённо при a1 в центральных частях линии коэффициент поглощения равен

k

=

k

e

^{-u^2}

.

(8.24)

Для далёких же от центра частей линии из формулы (8.18) находим

k

=

k

a

1

u^2

(8.25)

Переходная область между областями применения формул (8.24) и (8.25) находится из того условия, что в ней значения k, даваемые этими формулами, одного порядка.

Легко видеть, что формула (8.24) совпадает с (8.17), а формула (8.25) — с (8.13) (если пренебречь в последней _ik/4 по сравнению с |-|). Следовательно, вблизи центра линии коэффициент поглощения определяется эффектом Доплера, а вдали от него — затуханием излучения.

3. Эффекты давления.

При получении формулы (8.18) были приняты во внимание только естественная размытость энергетических уровней атома и участие атома в тепловом движении. Однако на вид функции k также сильно влияет присутствие посторонних частиц. Это влияние мы будем называть эффектами давления (так как чем больше давление, тем сильнее это влияние).

Самой простой формой эффектов давления является столкновение атома с посторонней частицей, при котором энергия возбуждения атома передаётся частице (удар второго рода). Из-за таких столкновений среднее время жизни атома в возбуждённом состоянии будет меньше, чем определённое по формуле (8.9), а размытость энергетического уровня — соответственно больше. Последнее следует из принципа неопределённостей Гейзенберга, согласно которому Eth. При учёте столкновений для средней продолжительности жизни атома в возбуждённом состоянии вместо формулы (8.9) имеем

t

_k

=

1

_k+_c

.

(8.26)

где _c — число столкновений за 1 с, рассчитанное на один возбуждённый атом.

Коэффициент поглощения при учёте столкновений будет опять определяться формулой (8.18), в которой под a следует понимать величину

a

=

_E+_c

_D

,

(8.27)

где _c — полуширина, определяемая столкновениями (т.е. соответствующая величине _c).

Однако на коэффициент поглощения влияют не только удары второго рода. Гораздо большее влияние на него оказывают прохождения посторонних частиц около атома. При таких прохождениях меняется силовое поле вблизи атома, вследствие чего происходит смещение энергетических уровней. Очевидно, что смещение уровней данного атома меняется с течением времени, а для определённого момента времени уровни разных атомов смещены на неодинаковую величину. Поэтому указанный эффект вызывает расширение спектральных линий.