Читаем Курс теоретической астрофизики полностью

Курс теоретической астрофизики

Для вычисления эйнштейновских коэффициентов переходов необходимо знать волновые функции атома. Так как определение волновых функций представляет весьма сложную задачу, то эйнштейновские коэффициенты переходов вычислены лишь для простейших случаев.

В таблице 5 даны значения величин A_ki для атома водорода. Здесь под индексами i и k понимаются главные квантовые числа, а величины A_ki имеют следующий смысл. Если n_k есть количество атомов во всех состояниях с главным квантовым числом k, то общее число переходов в состояния с главным квантовым числом i, происходящих за 1 с, равно n_kA_ki. При этом предполагается, что распределение атомов по состояниям с разными азимутальными квантовыми числами пропорционально статистическим весам этих состояний.

Таблица 5

Значения A_ki для атома водорода

4,67·10

5,54·10

4,39·10

1,27·10

8,37·10

8,94·10

4,10·10

2,52·10

2,19·10

2,68·10

1,64·10

9,68·10

7,74·10

7,67·10

1,02·10

7,53·10

4,37·10

3,34·10

3,03·10

3,24·10

4,50·10

3,85·10

2,20·10

1,64·10

1,42·10

1,38·10

1,55·10

2,26·10

Эйнштейновские коэффициенты переходов A_ki, B_ki и B_ik просто выражаются через так называемую силу осциллятора f_ik. Например, эйнштейновский коэффициент спонтанного перехода равен

_ki

8^2e^2_ik^2

mc^3

g_i

g_k

_ik

(8.10)

где m — масса электрона и e — его заряд. Величина f_ik является безразмерной и представляет собой число классических осцилляторов, которые по поглощательному действию заменяют один атом.

2. Коэффициент поглощения, обусловленный затуханием излучения и тепловым движением атомов.

Спектральные линии не являются строго монохроматическими. В каждой линии могут поглощаться фотоны разных частот, близких к центральной частоте линии . Вероятность поглощения фотонов частоты внутри линии определяется многими причинами. Как и раньше (см. § 1), мы будем характеризовать эту вероятность объёмным коэффициентом поглощения, который обозначим через . Физический смысл этой величины, как мы помним, состоит в том, что вероятность поглощения фотона частоты на пути ds равна ds. Отметим также, что количество энергии частоты , поглощаемое единицей объёма за 1 с, равно Id где I — интенсивность излучения и интегрирование ведётся по всем направлениям.

Пусть рассматриваемая линия возникает при переходе атома из i-го состояния в k-е и n_i — число атомов в i-м состоянии в 1 см^3. Мы можем представить величину в виде =n_ik, где k — коэффициент поглощения, рассчитанный на один атом. Очевидно, что величины и k зависят от индексов i и k, но для упрощения записи эти индексы мы опускаем.

Коэффициент поглощения k связан простой зависимостью с эйнштейновским коэффициентом поглощения B_ik. Чтобы получить эту зависимость, напишем выражение для числа переходов с i-го уровня на k-й происходящих в 1 см^3 за 1 с, сначала с помощью B_ik, а затем с помощью k. С одной стороны, указанное число переходов равно n_kB_ik_ik. С другой стороны, то же число переходов можно представить в виде

Приравнивая оба эти выражения и учитывая, что I d=c, где — плотность излучения, находим

_ik

(8.11)

Так как коэффициент поглощения k имеет резкий максимум в центральной частоте , то среднее значение величины /h можно вынести за знак интеграла. Тогда вместо (8.11) получаем

_ik

(8.12)

Соотношение (8.12) имеет место во всех случаях, независимо от того, какими причинами обусловлен вид функции k В частности, из этого соотношения следует, что чем шире интервал частот, внутри которого величина k не сильно отличается от своего значения в центре линии, тем меньше среднее значение коэффициента k в этом интервале.

Зависимость коэффициента поглощения k от частоты, как уже сказано, определяется рядом причин. Главными из них являются следующие: 1) затухание излучения (в терминах классической электронной теории) или размытость энергетических уровней атома (в терминах квантовой механики), 2) эффект Доплера, происходящий от теплового движения атомов.

Допустим сначала, что коэффициент поглощения определяется только затуханием излучения. В этом случае, согласно квантовой теории излучения (см., например, [1]), мы имеем

c^2

_ki

32^3^2

(-)^2

_ki

(8.13)

где _ki=_i+_k, а величина _k даётся формулой (8.8). Обозначим через _E расстояние от центра линии, на котором значение k составляет половину максимального значения k Очевидно, что _E=_ki/4. Величина 2_E называется естественной шириной спектральной линии. От ширины, выраженной в частотах, мы можем перейти к ширине, выраженной в длинах волн, пользуясь формулой _E=_E/. Естественная ширина линии, выраженная в длинах волн, оказывается порядка 0,001 A.